概率分佈和概率分佈函式
今天在面試小米演算法工程師的時候，遇到這麼一個面試問題，給定一個x取值範圍屬於[a,b],
它的概率密度函式為f(x),求如何生成一系列隨機數，滿足這個概率分佈。
這個問題首先要明白概率密度函式表達的是什麼意思
先說均勻分佈：
均勻分佈的概率密度函式：f(x)=1/(b-a)
直接：np.random.random()*(b-a) + a
或者Math.random()*(b-a) + a
這個分散式個性化的所以。直接上圖。
所以如果圖中的條形框分佈的足夠的細膩，其實就變成了對應的取值了，取f(x)然後找對應的f(x)所對應的x,
即可以取樣得到滿足概率分佈的資料
離散型概率分佈：把離散的值所有的值列出來，然後分別計算取值的概率。
離散型的概率分佈函式：看定義，F(x）=P（X<x）,F(x)會取X<=x的概率的取值累加和，所以也叫做累加概率。
連續型函式的概率分佈，換了一個名字叫概率密度函式。說白了，概率密度函式f(x),其實就是 x取某一點的概率，
所以作為概率密度函式應該有下面三個性質
； ② 
； ③ 
連續型概率分佈函式，F(X）其實就是從負無窮到x的積分值
下面給出其他網友的關於概率分佈（概率密度函式），概率分佈函式
大學的時候，我的《概率論和數理統計》這門課一共掛過3次，而且我記得最後一次考過的時候剛剛及格，只有60分。你可以想象我的《概率論》這門課學的是有多差了。後來，我工作以後，在學習資料分析技能時，又重新把《概率論》這本書學了一遍。原來之前一直沒學好這門課的很重要一個原因就是，這門課涉及很多基礎的概念，而我當初就是對這些概念非常不理解。
今天我就講講應該如何理解概率分佈函式和概率密度函式的問題。是不是乍一看特別像，容易迷糊。如果你感到迷糊，恭喜你找到我當年的感覺了。
先從離散型隨機變數和連續性隨機變數說起
對於如何分辨離散型隨機變數和連續性隨機變數，我這裡先給大家舉幾個例子：
1、一批電子元件的次品數目。
2、同樣是一批電子元件，他們的壽命情況。
在第一個例子中，電子元件的次數是一個在現實中可以區分的值，我們用肉眼就能看出，這一堆元件裡，次品的個數。但是在第二個例子中，這個壽命它是一個你無法用肉眼數的過來的數字，它需要你用筆記下來，變成一個數字你才能感受它。在這兩個例子中，第一例子涉及的隨機變數就是離散型隨機變數，第二個涉及的變數就是連續型隨機變數。
在賈俊平老師的《統計學》教材中，給出了這樣的區分：
如果隨機變數的值可以都可以逐個列舉出來，則為離散型隨機變數。如果隨機變數X的取值無法逐個列舉則為連續型變數。
我始終覺得，賈老師這麼說，對於我們這些腦子笨又愛鑽牛角尖的學生來說，還是不太好理解。所以我就告訴大家一個不一定非常嚴謹，但是絕對好區分的辦法。
只要是能夠用我們日常使用的量詞可以度量的取值，比如次數，個數，塊數等都是離散型隨機變數。只要無法用這些量詞度量，且取值可以取到小數點2位，3位甚至無限多位的時候，那麼這個變數就是連續型隨機變數！
對了，如果你連隨機變數這個概念還不理解的話，我送你一句賈俊平老師的話：
如果微積分是研究變數的數學，那麼概率論與數理統計是研究隨機變數的數學。
再來理解離散型隨機變數的概率分佈，概率函式和分佈函式
在理解概率分佈函式和概率密度函式之前，我們先來看看概率分佈和概率函式是咋回事。一下子又冒出來兩個長得差不多的概念！沒事，他們長得差不多，實際代表的含義其實也差不多！
在講概率函式和概率分佈之前，我想先講講為什麼我們花這麼大的力氣去研究這個概念。因為它實在太重要了，為什麼呢？在這裡，我直接引用陳希孺老師在他所著的《概率論與數理統計》這本書中說的：
研究一個隨機變數，不只是要看它能取哪些值，更重要的是它取各種值的概率如何！
這句是本文的核心內容，你要牢牢記得，我們這篇文章裡的所有概念都在是描述一件東西，那就是概率！概率！概率！什麼概率密度啦，概率分佈啦，概率函式啦，都是在描述概率！
概率分佈和概率函式這兩個概念，我想先從概率函式開始講。概率函式，就是用函式的形式來表達概率。
pi=P(X=ai)(i=1,2,3,4,5,6)
在這個函式裡，自變數（X）是隨機變數的取值，因變數（pi）是取值的概率。這就叫啥，這叫用數學語言來表示自然現象！它就代表了每個取值的概率，所以順理成章的它就叫做了X的概率函式。從公式上來看，概率函式一次只能表示一個取值的概率。比如P（X=1）=1/6,這代表用概率函式的形式來表示，當隨機變數取值為1的概率為1/6，一次只能代表一個隨機變數的取值。
接下來講概率分佈，顧名思義就是概率的分佈，這個概率分佈還是講概率的。我認為在理解這個概念時，關鍵不在於“概率”兩個字，而在於“分佈”這兩個字。為了理解“分佈”這個詞，我們來看一張圖。
離散型隨機變數的值和概率的分佈列表在很多教材中，這樣的列表都被叫做離散型隨機變數的“概率分佈”。其實嚴格來說，它應該叫“離散型隨機變數的值分佈和值的概率分佈列表”，這個名字雖然比“概率分佈”長了點，但是對於我們這些笨學生來說，肯定好理解了很多。因為這個列表，上面是值，下面是這個取值相應取到的概率，而且這個列表把所有可能出現的情況全部都列出來了！
舉個例子吧，一顆6面的骰子，有1，2，3，4，5，6這6個取值，每個取值取到的概率都為1/6。那麼你說這個列表是不是這個骰子取值的”概率分佈“？
長得挺像的，上面是取值，下面是概率，這應該就是骰子取值的“概率分佈”了吧！大錯特錯！少了一個最重要的條件！對於一顆骰子的取值來說，它列出的不是全部的取值，把6漏掉了!
這麼一說你就應該明白概率分佈是個什麼鬼了吧。說完概率分佈，就該說說分佈函數了。這個分佈函式又是個簡化版的東西！我真的很討厭我們的教材中老是故弄玄虛，賣弄概念！你就老老實實的寫成”概率分佈函式“，讓我們這些笨學生好理解一些不行嗎？
看看下圖中的分佈律！這又是一個不統一叫法的醜惡典型！這裡的分佈律明明就是我們剛剛講的“概率函式”，完全就是一個東西嘛！但是我知道很多教材就是叫分佈律的。
概率分佈函式就是把概率函式累加我們來看看圖上的公式，其中的F(x)就代表概率分佈函式啦。這個符號的右邊是一個長的很像概率函式的公式，但是其中的等號變成了大於等於號的公式。你再往右看看，這是一個一個的概率函式的累加！發現概率分佈函式的祕密了嗎？它其實根本不是個新事物，它就是概率函式取值的累加結果！所以它又叫累積概率函式！其實，我覺得叫它累積概率函式還更好理解！！
概率函式和概率分佈函式就像是一個硬幣的兩面，它們都只是描述概率的不同手段！
連續型隨機變數也有“概率函式”和“概率分佈函式”嗎？
有！連續型隨機變數也有它的“概率函式”和“概率分佈函式”，但是連續型隨機變數的“概率函式”換了一個名字，叫做“概率密度函式”！為啥要這麼叫呢？我們還是借用大師的話來告訴你，在陳希孺老師所著的《概率論與數理統計》這本書中，
如果這麼解析你還是不太懂的話，看看下面的這個公式：
概率密度函式用數學公式表示就是一個定積分的函式，定積分在數學中是用來求面積的，而在這裡，你就把概率表示為面積即可！
左邊是F(x)連續型隨機變數分佈函式畫出的圖形，右邊是f(x)連續型隨機變數的概率密度函式畫出的影象，它們之間的關係就是，概率密度函式是分佈函式的導函式。
兩張圖一對比，你就會發現，如果用右圖中的面積來表示概率，利用圖形就能很清楚的看出，哪些取值的概率更大！這樣看起來是不是特別直觀，特別爽！！所以，我們在表示連續型隨機變數的概率時，用f(x)概率密度函式來表示，是非常好的！
這篇文章只是我個人對於這些概念的一些比較取巧的理解，如果你想更加深刻，精確的理解這些概念，我推薦大家讀一下陳希孺老師的《概率論與數理統計》這本書，這本書對於這些概念的理解非常有幫助！