泊松分佈的簡易理解

如果某事件以固定強度λ，隨機且獨立地出現，該事件在單位時間內出現的次數（個數）可以看成是服從泊松分佈。

這個固定強度λ其實就是泊松分佈的期望和方差。傳送門3、泊松分佈的期望和方差推導

舉個例子吧：假如我平均每天去超市三次，那我明天會去超市幾次？

注意，平均每天去超市三次，並不代表每天一定去超市三次。這裡的平均每天去超市三次就是指固定強度λ=3.

因此，我明天可能去超市n次，n=0,1,2,3,……。泊松分佈計算器這個計算器預設是單位時間，與時間相關的就直接用λt替換λ~

明天我去超市0次的概率，根據泊松分佈可以算出0.0498；

明天我去超市1次的概率，根據泊松分佈可以算出0.1494；不大於1次的概率，0.1991

明天我去超市2次的概率，根據泊松分佈可以算出0.224；不大於2次的概率，0.4232

明天我去超市3次的概率，根據泊松分佈可以算出0.224；不大於3次的概率，0.6472

明天我去超市4次的概率，根據泊松分佈可以算出0.168；不大於4次的概率，0.8153

明天我去超市5次的概率，根據泊松分佈可以算出0.1008；不大於5次的概率，0.9161

泊松分佈的圖形大概是下面的樣子。這個圖是傳送門1中的圖形，該圖形中，固定時間長度（單位時間）與縱座標的乘積就表示概率。所有的柱狀圖的面積相加為1。

matlab下泊松分佈繪圖程式碼

 x=0:1:10
 px=poisspdf(x,3); %λ=3 生成泊松分佈的概率密度函式
 plot(x,px)
 y=poisscdf(x,3);  %λ=3 生成泊松分佈的概率分佈函式
 plot(x,y)
 

固定強度λ=3的泊松概率分佈函式圖形如下:

（概率）分佈函式還有一個更好理解的名字，叫做累積分佈函式(Cumulative Distribution Function)。累積理解起來有點不爽，我一般是記成累計~一個意思，理解就好。根據分佈函式，可以較直觀的看出，去超市不大於n次的概率。

固定強度λ=3的泊松概率密度函式圖形如下:

某一點的概率密度大，說明在這一點附近發生的概率相對於其他點發生的概率大。注意，概率密度是可以大於1的，假如說某一點的概率密度為100，但是這一點附近指的是，這一點的區間長度可能會遠遠小於0.001.因此這一點附近發生的概率大概是0.1=100x0.001，概率密度與x軸圍成的面積是1，也就是說，所有事件發生的概率和為1。這裡面涉及到微積分中的積分問題，感興趣的可以去看下微積分中積分的物理意義~

我的例子是離散型的隨機變數，但是我做的圖是連續型的隨機變數的概率分佈函式和概率密度函式，所以例子和圖不匹配。

曾經的我以為世界非黑即白，硬幣只有正反兩面。

初中的我知道了硬幣的正面和反面的概率都是0.5。（離散）

再後來我知道了，世界並不是非黑即白，還有灰色。從白（255）到黑（0），是可以用灰度來衡量的。（連續）

人可以被分成好人和壞人。概率密度函式類似於灰度。

人的一生很長，某人在某一點的概率密度函式很大，灰度很大（255），但是持續的時間很短，說明這個人在那段時間表現出來的是個好人。這或許也是理解概率密度函式的一種方法。

小的時候我評價別人的時候說，他是好人。我現在會說，他很可能是好人（較大的概率）。概率論讓我中毒不淺~

注意Poisson還有一個知名度比較小的第二個定義，或者說是Poisson Process的定義：假定一個事件在一段時間內隨機發生，且符合以下條件：

泊松分佈的用途:

1. 某人一天內收到的微信的數量
2. 來到某公共汽車站的乘客
3. 某放射性物質發射出的粒子
4. 顯微鏡下某區域中的白血球

指數分佈的簡易理解

指數分佈是一種連續概率分佈。

指數分佈和泊松分佈是有關係的：

指數函式的無記憶性來自於泊松過程k=0時的 時間指數性，而泊松過程k=0時的 時間指數性 來自於泊松分佈時 lambda的恆定性，也就是離散情況下，二項分佈的n*p的恆定性。

指數分佈的用途：

1. 指數分佈可以用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔，比如旅客進機場的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔等等
2. 在排隊論中，一個顧客接受服務的時間長短也可以用指數分佈來近似。
3. 無記憶性的現象（連續時）

舉個例子吧，假設我平均每三天去超市一次，服從指數分佈。

那麼我平均每天去超市1/3次。 λ就表示平均每單位時間發生該事件的次數，是指數函式的分佈引數。此處的λ=1/3。

那麼，指數分佈概率分佈是解決什麼問題呢。

我今天去了超市，那麼

我隔了1天沒有去超市的概率，根據指數分佈可以算出0.7165，隔了1天就又去了超市的概率，根據指數分佈可以算出0.2835；

我隔了2天沒有去超市的概率，根據指數分佈可以算出0.5134，我在2天內去了超市的概率，根據指數分佈可以算出0.4866；

我隔了3天沒有去超市的概率，根據指數分佈可以算出0.3679，我在3天內去了超市的概率，根據指數分佈可以算出0.6321；

我隔了4天沒有去超市的概率，根據指數分佈可以算出0.2636，我在4天內去了超市的概率，根據指數分佈可以算出0.7364；

我隔了5天沒有去超市的概率，根據指數分佈可以算出0.1889，我在5天內去了超市的概率，根據指數分佈可以算出0.8111；

（計算方法使用的是MATLAB中的expcdf函式，此處需要注意的是，expcdf函式的第二個引數是指數函式的期望值，此處λ=1/3，期望值為3，也就是說，我預期隔了3天會去超市1次。）

matlab下指數分佈繪圖程式碼

x=0:1:10;
ex=expcdf(x,3);%這裡的第二個引數是均值（期望），指數分佈的概率分佈函式
plot(x,ex)
ey=exppdf(x,3);%指數分佈的概率密度函式
plot(x,ey)

λ=1/3（期望為3）的指數分佈概率分佈函式圖形如下:

從圖中可以看出，我今天去了超市，那麼我在10天內去了超市的概率都還沒到1。

因為銀行排隊論中，一個顧客接受服務的時間長短也可以用指數分佈來近似，所以說，哪怕銀行僱員告訴你，我們平均每10分鐘就能服務完1個顧客，你也要做好排隊2個小時的思想準備~~~~

λ=1/3（期望為3）的指數分佈概率密度分佈函式圖形如下:

因為銀行排隊論中，一個顧客接受服務的時間長短也可以用指數分佈來近似，所以說，哪怕銀行僱員告訴你，我們平均每10分鐘就能服務完1個顧客，我們也要做好排隊2個小時的思想準備，但是根據指數分佈概率密度來看，我們排隊2個小時才被服務的概率密度還是比較低的，因此排隊2個小時左右（一個時間段）的概率也是比較低的。注意：概率密度和概率的不同。

總結

如果某事件以固定強度λ，隨機且獨立地出現，該事件在單位時間內出現的次數（個數）可以看成是服從泊松分佈。我們往往計算的是單位時間內出現的次數多少的概率，也就是說，出現1次的概率，兩次的概率……

指數分佈可以用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔，我們往往計算的是在1個單位時間內事件沒有發生的概率，然後推出在1個單位時間內事件發生的概率。同理，我們計算的是在2個單位時間內事件沒有發生的概率，然後推出在2個單位時間內事件發生的概率。

同時要注意一下泊松分佈和指數分佈的期望，尤其要注意MATLAB中相關函式的引數是均值（期望值）。