泊松分佈與指數分佈的理解

阿新 • • 發佈：2019-01-21

說到泊松分佈，最好是明白：泊松分佈是二項分佈n很大而p很小時的一種極限形式。

二項分佈：已知某件事情發生的概率是p，那麼做n次試驗，事情發生的次數就服從二項分佈。

泊松分佈式某段連續的時間內事情發生的次數。事情發生的時間是可以忽略的。關注的是事件的發生。泊松分佈是離散的變數。
這段時間是確定大小的，不是說某兩件事件（不知何時發生）的間隔。

把連續的時間分割層無數小份，那麼每個小份之間都是相互獨立的。在每個很小的時間區間內，事情可能發生也可能不發生，因此這就是一個p很小的二項分佈。連續的時間分成無數小份，也就意味著n很大，即：泊松分佈是二項分佈的一種極限形式。

此外，二項分佈是最簡單的發生於不發生的分佈，那麼與此關係密切的泊松分佈自然在生活中很常見也可以理解了。

泊松分佈中的lambda意義就是：一個時間段內時間平均發生的次數。

指數分佈是兩件事情發生的平均間隔時間，時間是連續變數。

看一道例子：
一機器在任何長為t的時間內出故障的次數是N(t)服從引數為lambda(意義為平均發生的次數)的泊松分佈。
1）求兩次相鄰故障之間的時間間隔T的分佈。

解釋：由上面的知識可知，這個將服從指數分佈。下面是具體計算。
FT(t>0)=P{T<=t}=1−P{T>t}=1−P{N(t)=0}=1−(λt)00!e−λt=1−e−λt,t>0
FT(t≤0)=0

所以得到的分佈就是一個指數分佈：

FT(t)={1−e−λt,0,t>

0t≤0

2)在裝置無故障工作8小時的情況下，再無故障工作8小時的概率。
解釋：有了上面的分佈再計算這個就很簡單了。
P(t≥8+8|t≥8)=P(t≥16,t≥8)P(t≥8)=1−P(t<16)1−P(t<8)=1−FT(16)1−FT(8)=e−8λ=P(t≥8)

由此可見無記憶性。