【通俗向】方差分析--T檢驗和F檢驗的異同
最近在圖書館借了本《R和ASReml-R統計分析教程》，林元震和陳曉陽主編的關於R的書籍，當時看上這本書的原因在於裡面以統計學知識為主，作為R語言實戰的良好補充，雖然R語言實戰是一本相當詳實的介紹R語言的書，但是其中的統計學原理往往一筆帶過（雖然本書也不是很詳盡），但是作為一個數據分析從業人員，我感覺對於很多統計理論，達到可以講明白原理和邏輯就可以，具體的計算過程和推導反而在其次，而最重要的是在什麼情況下應用什麼演算法和模型，這才是最關鍵的。
這篇部落格分享下對方差分析的理解。
其實在之前的文章中，對t檢驗相關說明比較多，而方差分析和t檢驗方法的功效和作用非常相近，網上對此也不是很詳盡，下面首先說說我的理解。
這裡說的t檢驗是雙樣本t，也就是兩組數，看這兩組資料對應的總體差異；方差檢驗也是看兩組（及以上）的資料見有沒有差異，那麼其實二者是不是一樣呢？
其實在某種程度是一樣的。下面的情況分為兩個維度：檢驗的組數和組內方差
情況1：僅有兩組，且組內方差相等
在這種情況下，t檢驗和F檢驗相等
我們看下F檢驗的原理，F檢驗是看F分佈，而F value是SSB/SSW，關於SSB和SSW可以參考可汗學院有一節專門講組間平方和（SSB）和組內平方和（SSW），如果我們把組間平方和理解為兩組之間的差異，組內平方和理解為兩組內部不同資料的差異的話，那麼簡單點說，兩個資料在有差異的前提下，究竟是組間的差異大，還是組內的差異大呢？如果是組間的差異大，那麼這兩組資料本身不一致的概率就非常大了，對應F值比較大；
那麼看看兩組的t檢驗，t檢驗的前提是兩組資料都是從不同樣本抽出的資料，而樣本都符合正態分佈，然後用這兩個樣本推斷這兩個總體存不存在差異；舉個例子，我有一缸黑米，和一缸白米，為了看這兩缸米的密度有沒有差異，用小勺各盛了十次，觀察密度，然後用小勺的十次，去判定總體的差異；如果想用t檢驗，前提假設是由於隨機誤差，兩缸米在抽取的時候密度會有隨機誤差，那麼每次抽取的密度都呈現正態分佈，還有一個假設，就是兩個勺子盛的米離散程度是相等的，也就是方差相等。所以，在方差相等，或者說方差齊的前提是t檢驗的必要前提。而F檢驗不要求方差齊，或者說本身就是檢查方差的差異的。
按照之前的定義，如果兩組方差齊，由於F檢驗的F值是SSB/SSW，組內方差相等，如果兩組有變異，那麼全部都是由於組間差異造成的，F檢驗自然成了t檢驗，下面附上F檢驗和t檢驗的程式碼和結果（資料參考了《R和ASReml-R統計分析教程》中的資料）：
weight<-scan()
16.68 20.67 18.42 18 17.44 15.95 18.68 23.22 21.42 19 18.92 NA
V<-rep(c('LY1','DXY'),rep(6,2))
df<-data.frame(V,weight)
a<-subset(df$weight,V=='LY1')
b<-subset(df$weight,V=='DXY')
var.test(a,b)
t.test(a,b,var.equal=T,paired = F)t檢驗的結果是：
Two Sample t-test
data: a and b
t = -2.1808, df = 9, p-value = 0.0571
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-4.86513222 0.08913222
sample estimates:
mean of x mean of y
17.860 20.248 F檢驗：
fit<-aov(weight~V,data=df)
summary(fit)結果：
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
V 1 15.55 15.55 4.756 0.0571 .
Residuals 9 29.43 3.27
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
1 observation deleted due to missingness可以看到p值都是0.0571，相等，因為前提是在t檢驗中加入了var.test，然後設定引數var.equal=T。下面看看方差不等的情況：
情況2，兩組資料，方差不齊
在這種情況下，如果忽略了方差齊的前提，比如我重新做一組資料，先檢測防擦：
weight<-scan()
16.68 20.67 18.42 18 17.44 30 18.68 23.22 21.42 19 18.92 82
V<-rep(c('LY1','DXY'),rep(6,2))
df<-data.frame(V,weight)
a<-subset(df$weight,V=='LY1')
b<-subset(df$weight,V=='DXY')
var.test(a,b)看到檢測結果：
F test to compare two variances
data: a and b
F = 0.038913, num df = 5, denom df = 5, p-value = 0.002832
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.005445095 0.278085194
sample estimates:
ratio of variances
0.03891273 p為0.002832，所以方差不齊；
但是然後我們進行方差齊的t檢驗：
t.test(a,b,var.equal=T,paired = F)Two Sample t-test
data: a and b
t = -0.98304, df = 10, p-value = 0.3488
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-33.77097 13.09431
sample estimates:
mean of x mean of y
20.20167 30.54000 看到兩組均值相等的概率好大；
方差不齊調整後的t檢驗：
t.test(a,b,var.equal=F,paired = F)Welch Two Sample t-test
data: a and b
t = -0.98304, df = 5.3885, p-value = 0.3676
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-36.79643 16.11976
sample estimates:
mean of x mean of y
20.20167 30.54000 P值是0.3676 稍微比之前大一些；
F檢驗：
fit<-aov(weight~V,data=df)
summary(fit) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
V 1 321 320.6 0.966 0.349
Residuals 10 3318 331.8 p是0.349；這和t檢驗在方差齊的前提下是相等的。
我理解是這樣的：
t檢驗的前提是方差齊，只有方差齊了，t檢驗的結果才反應兩組資料的是否有差異，否則如果方差不齊的話，會把組內的差異也考慮進去，所以判定的概率就更寬鬆；而F檢驗其實就是看組間差異和組內差異的比較，所以本質上和t檢驗方差齊的概念相似。但是實際上在方差不齊的時候是無法進行t檢驗的，結果不具有統計學意義。
情況3&4：多組情況下，方差齊&多組方差不齊
t檢驗一般適用於兩組，所以在多維的情況下，不適用t檢驗，而F檢驗可以判定多組、一組多變數和多組間有互動（單因素、協方差、雙因素無重複、雙因素有重複等），然後在通過兩兩比較進行分析，用duncan和tukey等方法去判定。