一、綜述

1.斐波那契堆

斐波那契堆是可合併堆

在不涉及刪除的操作（除去EXTRACT和DELETE）中，操作僅需O(1)的平攤執行時間

當EXTRACT和DELETE的運算元目較小時斐波那契堆能得到較好的執行效率。

斐波那契堆不能有效地支援SEARCH操作

用於解決諸如最小生成樹和尋找單源最短路徑等問題的快速演算法都要用到斐波那契堆。

2.斐波那契堆的結構

斐波那契堆由一組最小堆構成，這些最小堆是有根的無序樹。

結點結構：

key: 關鍵字，作為排序、判斷結點大小的標準

left, right：用於維護雙鏈表，所有的根結點形成一個雙鏈表，每個結點的孩子們形成雙鏈表

parent, child : 維護父子關係

mark : 這個域與維護堆結構無關，只與具體的演算法策略有關，不在這裡講

degree： 記錄該結點有幾個孩子

斐波那契堆

n：堆中結點的個數

min：批向最小的結點

3.可合併堆

引理19.1中給出的二項樹的性質對無序二項樹仍然成立P278

有n個結點FibHeap，結點的最大度數D(n) = lgn(向下取整)

將合併堆的操作儘可能地推後

4.最大度數的界

二、理解

1.延遲合併操作

FIB-HEAP-INSERT和FIB-HEAP-UNION只是最基礎的連結串列合入操作，因為合併操作要儘可能地拖後

FIB-HEAP-EXTRACT-MIN除了要完成本職工作外，還要作合併調整

2.合併調整操作

CONSOLIDATE是作合併調整的函式

它將度數相同的根連結起來，直到對應每個度數至多隻有一個根

遍歷每一個根結點去判斷，如果兩個根結點的度是一樣的，讓大的結點作為小的結點的孩子

3.mark的作用

為了防止堆太寬，需要策略來調整堆，使根結點成為別的根結點的孩子，該策略就是CONSOLIDATE

同理，為了防止堆太深，也需要有相應的策略去調整，在適當的時候，把某個結點的孩子變成根

這一策略就是CUT和CASCADING-CUT，mark在實現這一策略的過程中起到輔助作用。

原理：當一個非根結點被切掉了2個孩子，就把它升為根結點

在刪除一個結點時，怎麼區分是第一個被刪除的孩子，還是第二個？此時需要用mark來標記

4.P300那句話

因為翻譯不好，嚴重影響理解

一旦第二個孩子也失掉後，x與其父結點之間的聯絡就被切斷了，併成為一個新根。

原文：As soon as the second child has been lost, we cut x from its parent, making it a new root.

三、改進

1.命名

mark的命名不能體現它的作用，影響理解，如果換一個好一點的名字，就不用那麼大段的文字去說明

外部函式不需要FIB-HEAP-這樣的字首，因為本來就是為它寫的介面

內部函式的名字要說明函式的作用，因為內部函式是被自己呼叫的，不要給自己添麻煩

2.分解函式

提取了一些對雙鏈表的常用操作

3.合併函式

CUT和CASCADING-CUT合併成一個函式，因為它們其實是一個功能，就是根據策略把孩子結點升為根結點

4.引數和返回值

CUT和CASCADING-CUT中的x和y是父子關係，而且重點是子，父是隻為了方便處理，不需要作為引數傳進來，在函式裡面重新獲取一個就可以了。多傳一個函式，就一個出錯源

對於帶引數的函式，增加一返回值。用於告知呼叫者是否成功，或什麼原因導致失敗

5.功能

FIB-HEAP-DECREASE-KEY和FIB-HEAP-DELETE這兩個函式作用不大。

因為它們的入參是node*。要想呼叫這兩個函式，就必須先獲取目標結點的指標。

可是沒有一個介面返回指向結點的指標，怎麼找到我的目標結點的指標呢？

呼叫者必須自己在建立結點後保持這個結點，這樣不合理

四、程式碼

五、習題

20.1斐波那契堆

20.2可合併堆

20.2-1

20.2-4

McGee和FibHeap的區別在於合併的時機。

Fibheap認為合併調整應該儘量地推遲，而McGee則在每次堆中結點有增加的時候就作合併調整。

個人認為，合併調整操作的意義是防止堆過寬而影響效能。但是從演算法過程上看，根結點的個數多少不會影響INSERT和UNION的效能，因此沒有必要。

比較認可FibHeap的做法。

20.3減小一個關鍵字與刪除一個結點

20.3-1

根據P300的描述，只有非根結點才可能被打上標記，如果根結點有標記，一定是它是非根結點的時候打上標記，然後被移到根結點的位置。

把結點移至根結點是通過上面程式碼中的函式addNodeToRootList和addListToRootList完成的，目標縮小至這兩個函數週圍

讓根結點成為有標記結點，須滿足以下兩個條件

（1）呼叫這兩個函式前，該結點是非根結點

（2）呼叫後沒有清標記

結論：x是pMinData的孩子，根據P300的步驟被打上標記後，執行extract()時又成為根結點

20.4最大度的界

四、思考題

20-1刪除的另一種實現

把FIB-HEAP-DELETE中的兩個函式展開，再和PISANO-DELETE對比，並附上x不是min[H]的假設，可以發現這兩個函式執行的操作基本上是一樣的，區別在於

（1）PISANO-DELETE中去掉了FIB-HEAP-DELETE中多餘的判斷，不影響效率

（2）FIB-HEAP-DELETE在刪掉結點之後有合併調整的動作

a)add x's child list to the root list of H的時間不是O(1)，因為每個child都有一個pParent指標，必須依次修改每個child的指標

20-2其它斐波那契堆的操作

a)

（1）k < key[x]的情況，直接呼叫FIB-HEAP-DECREASE-KEY

（2）k = key[x]的情況，不用處理

（3）k > key[x]的情況，交換它與它孩子的內容，但是指標保持不變，直到符合最小堆的情況，時間與堆的深度有關

b)

以我有限的智商，只能想到執行min(r, n[H])次EXTRACT