[數論] Miller_Rabbin演算法判斷大素數，Pollard_rho演算法進行質因素分解
講解轉載於：http://www.cnblogs.com/rainydays/archive/2011/09/01/2162049.html http://blog.sina.com.cn/s/blog_86a9d97201015cj7.html
Miller-rabin
Miller-rabin演算法是一個用來快速判斷一個正整數是否為素數的演算法。它利用了費馬小定理，即：如果p是質數，且a，p互質，那麼a^(p-1) mod p恆等於1。也就是對於所有小於p的正整數a來說都應該複合a^(p-1) mod p恆等於1。那麼根據逆否命題，對於一個p，我們只要舉出一個a（a<p）不符合這個恆等式，則可判定p不是素數。Miller-rabin演算法就是多次用不同的a來嘗試p是否為素數。
但是每次嘗試過程中還做了一個優化操作，以提高用少量的a檢測出p不是素數的概率。這個優化叫做二次探測。它是根據一個定理：如果p是一個素數，那麼對於x(0<x<p)，若x^2 mod p 等於1，則x=1或p-1。逆否命題：如果對於x(0<x<p)，若x^2 mod p 不等於1，則p不是素數。根據這個定理，我們要計算a^(p-1) mod p是否等於1時，可以這樣計算，設p-1=(2^t) * k。我們從a^k開始，不斷將其平方直到得到a^(p-1)，一旦發現某次平方後mod p等於1了，那麼說明符合了二次探測定理的逆否命題使用條件，立即檢查x是否等於1或p-1，如果不是則可直接判定p為合數。
pollard-rho
這是一個用來快速對整數進行質因數分解的演算法，需要與Miller-rabin共同使用。求n的質因子的基本過程是，先判斷n是否為素數，如果不是則按照一個偽隨機數生成過程來生成隨機數序列，對於每個生成的隨機數判斷與n是否互質，如果互質則嘗試下一個隨機數。如果不互質則將其公因子記作p，遞迴求解p和n/p的因子。如果n是素數則直接返回n為其素因子。
至於這個隨機數序列是如何生成的暫時還不能理解，而且也是有多種不同的方式。這個序列生成過程中會產生迴圈，遇到迴圈則立即退出。
Pollard rho演算法的原理就是通過某種方法得到兩個整數a和b，而待分解的大整數為n，計算p=gcd(a-b,n)，直到p不為1，或者a，b出現迴圈為止。然後再判斷p是否為n，如果p=n成立，那麼返回n是一個質數，否則返回p是n的一個因子，那麼我們又可以遞迴的計算Pollard(p)和Pollard(n/p)，這樣，我們就可以求出n的所有質因子。
具體操作中，我們通常使用函式x2=x1*x1+c來計算逐步迭代計算a和b的值，實踐中，通常取c為1，即b=a*a+1，在下一次計算中，將b的值賦給a，再次使用上式來計算新的b的值，當a，b出現迴圈時，即可退出進行判斷。
在實際計算中，a和b的值最終肯定一出現一個迴圈，而將這些值用光滑的曲線連線起來的話，可以近似的看成是一個ρ型的。
對於Pollard rho，它可以在O(sqrt(p))的時間複雜度內找到n的一個小因子p，可見效率還是可以的，但是對於一個因子很少、因子值很大的大整數n來說，Pollard rho演算法的效率仍然不是很好，那麼，我們還得尋找更加的方法了。
Miller-rabin演算法用到了二次探測，因為有些數稱為Carmichael數，它滿足費馬小定理，但不是素數。
模板：POJ 1811
#include <iostream> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include <vector> #include <queue> #include <stack> #include <map> #include <set> #include <cmath> #include <time.h> #include <iomanip> #include <cctype> using namespace std; /** Miller_Rabin 演算法進行素數測試 快速判斷一個<2^63的數是不是素數,主要是根據費馬小定理 */ #define ll long long const int S=8; ///隨機化演算法判定次數 ///計算ret=(a*b)%c a,b,c<2^63 ll mult_mod(ll a,ll b,ll c) { a%=c; b%=c; ll ret=0; ll temp=a; while(b) { if(b&1) { ret+=temp; if(ret>c) ret-=c;//直接取模慢很多 } temp<<=1; if(temp>c) temp-=c; b>>=1; } return ret; } ///計算ret=(a^n)%mod ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod) { ll ret=1; ll temp=a%mod; while(n) { if(n&1) ret=mult_mod(ret,temp,mod); temp=mult_mod(temp,temp,mod); n>>=1; } return ret; } ///通過費馬小定理 a^(n-1)=1(mod n)來判斷n是否為素數 ///中間使用了二次判斷,令n-1=x*2^t ///是合數返回true，不一定是合數返回false bool check(ll a,ll n,ll x,ll t) { ll ret=pow_mod(a,x,n); ll last=ret;//記錄上一次的x for(int i=1;i<=t;i++) { ret=mult_mod(ret,ret,n); if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//二次判斷為是合數 last=ret; } if(ret!=1) return true;//是合數,費馬小定理 return false; } ///Miller_Rabbin演算法 ///是素數返回true(可能是偽素數)，否則返回false bool Miller_Rabbin(ll n) { if(n<2) return false; if(n==2) return true; if((n&1)==0) return false;//偶數 ll x=n-1; ll t=0; while((x&1)==0) { x>>=1; t++; } srand(time(NULL)); for(int i=0;i<S;i++) { ll a=rand()%(n-1)+1; // 生成隨機數 0<a<=n-1 去試試 if(check(a,n,x,t)) return false; } return true; } /** pollard_rho演算法進行質因素分解 */ ll factor[100];//質因素分解結果(一開始無序） int tot;//質因素的個數 0~to-1 ll gcd(ll a,ll b) { ll t; while(b) { t=a; a=b; b=t%b; } if(a>=0) return a; return -a; } ///找到一個質因素 ll pollard_rho(ll x,ll c) { ll i=1,k=2; srand(time(NULL)); ll x0=rand()%(x-1)+1;//隨即一個因子來判斷 ll y=x0; while(1) { i++; x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x; ll d=gcd(y-x0,x); if(d!=1&&d!=x) return d; if(y==x0) return x; if(i==k) { y=x0; k+=k; } } } ///對n進行質因素分解，存入factor陣列，k為了防止死迴圈，設定為107左右 void findfac(ll n,int k) { if(n==1) return; if(Miller_Rabbin(n)) { factor[tot++]=n; return; } ll p=n; int c=k; while(p>=n) p=pollard_rho(p,c--); findfac(p,k); findfac(n/p,k); } int main() { int t;scanf("%d",&t); ll n; while(t--) { scanf("%I64d",&n); if(Miller_Rabbin(n)) { printf("Prime\n"); continue; } tot=0; findfac(n,107); sort(factor,factor+tot); printf("%I64d\n",factor[0]); } return 0; }