字串匹配有很多方法，比如暴力，雜湊等等，還有一種廣為人知的演算法 $---KMP$。

一.問題引入

需要一種演算法，能夠線上性的時間內判斷 $a[1...N]$是否是字串 $b$

思考暴力。

列舉i從 $1-\>$

我們很容易發現這樣的方法在極端資料下跑的很慢，比如：

aaaaaaaaaaaaaaaaaab
aaaaab

每次要匹配到a最後一個位置才發現不相等。時間複雜度 $O(nm)$

當然此問題亦可以通過雜湊解決，筆者在此不多贅述

接下來我們就講神奇的 $KMP$演算法

二.演算法概述

$KMP$演算法，又稱模式匹配演算法，是一種能夠高效，準確的處理字串匹配的演算法

KMP演算法基本分為兩部：

1.首先是對 $A$陣列（模式串）進行自我匹配。

建立一個 $next$陣列， $next[i]$表示以 $i$結尾的非字首字串與A的字首能夠匹配的最大長度。

其中“以 $i$結尾的非字首字串”通俗的說就是非字首的字尾，比如aab的非字首的字尾就是 $\{b\},\{ab\}$

$next[i]=\max\{j\}, j<i$且 $A[i-j+1...i]=A[1...j]$

舉個例子：

設 $A$串為 $"abababaac"$，A陣列的next[7]應該為5，推導過程如下：

發現有三個可行的j滿足 $A[i-j+1...i]=A[1...j]$：

$A[7...7]=\{a\}$與 $A[1...1]=\{a\}$ 匹配；
$A[5...7]=\{aba\}$與 $A[1...3]=\{a\}$匹配；
$A[3...7]=\{ababa\}$與 $A[1..5]=\{ababa\}$匹配；

其中 $j$最大的是第 $3$個為 $5$

如何更快的計算 $next$陣列？

不妨設 $next[1...6]$都已求出，通過上述過程知 $next[6]=4$

$∵A[7]=A[5],∴next[7]=next[6]+1=5$

接下來考慮next[8]

發現 $A[8]=\{a\}$而 $A[6]=\{b\}$，所以 $next[8]$不等於 $next[7]+1$

那麼只好將匹配長度 $j$縮短

根據上面的結論我們知道 $j$好可以等於 $3$和 $5$，嘗試延伸到 $A[8]$

但是我們發現 $A[8]$與 $A[4]$和 $A[2]$都不匹配，於是只能從頭匹配， $next[8]=next[1]+1=1$

那我們怎麼讓程式知道當我們發現 $A[8]!=A[6]$時該去匹配 $A[4]$和 $A[2]$呢？

$next[7]=5$說明從 $7$往前 $5$個字元是與 $A[1...5]$匹配的。那我們下一步要尋找的也就是 $5$之前的 $j$個字元與 $A[1...j]$相匹配，那麼 $7$往前 $j$個字元是與 $A[1...j]$匹配的。這個 $j$的答案就是 $next[5]$,其實就是 $next[next[7]] <$