AVL樹的全稱是平衡搜尋二叉樹，本質上也是一個二叉搜尋樹（BST），滿足BST樹的所有性質。

但是我們在使用二叉搜尋樹的時候，我們知道通常情況在BST中搜索一個節點的時間複雜度是O(lgn)。

最壞的情況為O(n)，這種情況就是出現連續的左子樹/右子樹，如下圖所示：

這種情況其實就已經是鏈式儲存，無法將樹的優勢體現出來。

為了避免這種情況，我們就要保證這個樹隨時都是平衡的。當然要求不能那麼嚴格，不需要保證它完全平衡（每個節點的左右子樹高度差的絕對值都為0），AVL樹就要求的是隻要每個節點的左右子樹高度差的絕對值不超過1，就可以稱作平衡。

我們將“每個節點的左右子樹的高度差的絕對值”叫做平衡因子(BF)。

在AVL樹中，插入一個節點之後都會判斷是否打破了這個平衡。如果打破了，就需要對樹進行調整，讓它仍然滿足平衡的定義，並且不改變中序遍歷的正確性。這步操作就叫做旋轉。即，是否需要旋轉以及具體的旋轉實現都要包含在插入函式裡。

根據插入的位置不同，旋轉的型別也分為4種：LL，LR，RL，RR。

旋轉的幾種情況：
1.插入點位於x的左孩子的左子樹中。	左左LL  右旋。
2.插入點位於x的左孩子的右子樹中。	左右LR	較低的先左旋，轉換為LL問題，再右旋。
3.插入點位於x的右孩子的左子樹中。	右左RL	較低的先右旋，轉化為RR問題。再左旋。
4.插入點威武x的右孩子的右子樹中。	右右RR	左旋。
 

接下來我們就用幾個簡單的例子，來分析旋轉操作。

先給出AVL樹的定義。

typedef struct AVLTree
{
    int height;                //當前節點的高度。
    int data;
    struct AVLTree* lchild;
    struct AVLTree* rchild;
}Tree,*pTree

1. LL & RR

如圖所示。

原本的狀態是左邊圖所示，中序遍歷為2，3.此時平衡因子分別為1，0.

在插入了一個節點之後（此時我們還沒有寫帶調整的插入函式，可以理解為使用BST樹的插入函式），我們可以看到這就成了我們最不想看見的情況——變成了鏈式儲存。此時，我們就需要進行調整了。

情況：導致失衡的節點(1)是節點node(3)的左子樹的左孩子，即為LL情況。

具體演算法如下：

1.對於節點node（值為3的節點），先取它的左孩子（值為2的節點）作為臨時節點temp；

2.將temp的右孩子作為node的左孩子；

3.再將node作為temp的右孩子；

4.更新height

5.node = temp。此時，temp就成為了原來node一樣的存在。

下圖是調整後的二叉樹：

可以看到，此時還是一個BST樹且中序遍歷的順序也沒有發生改變，還滿足了AVL的要求。

具體程式碼實現：

前置函式：

int GetHeight(pTree tree)            //獲取當前節點的高度。
{
    if(tree == nullptr) return 0;
    return tree->height;
}

bool IsBalanced(pTree tree)            //判斷是否平衡。
{
    int BF = GetHeight(tree->lchild) - GetHeight(tree->rchild);
    return abs(BF) < 2;
}

LL型旋轉函式：

pTree Rotate_LL(pTree tree)
{
    pTree temp = tree->lchild;
    tree->lchild = temp->rchild;
    temp->rchild = tree;

    //更新高度,先更新node再更新temp。
    tree->height = max(GetHeight(tree->lchild),GetHeight(tree->rchild))+1;
    temp->height = max(GetHeight(temp->lchild),GetHeight(temp->rchild))+1;

    return temp;
}

RR型由於和LL型是對稱的，所以只需要將LL中的所有左右互換就可以了。

pTree Rotate_RR(pTree tree)
{
    pTree temp = tree->rchild;
    tree->rchild = temp->lchild;
    temp->lchild = tree;

    //更新高度,先更新node再更新temp。
    tree->height = max(GetHeight(tree->lchild),GetHeight(tree->rchild))+1;
    temp->height = max(GetHeight(temp->lchild),GetHeight(temp->rchild))+1;

    return temp;
}

• LR & RL 

接下來分析LR型：

即，引起失衡的是node節點的左子樹的右孩子。 即如下圖的情況：

在節點值為4的節點插入5，是4的右孩子。此時已經失衡。即為LR問題。

LR具體演算法：

1.先獲取node（值為10的節點）的左孩子節點，記為temp。

2.對temp進行RR。

3.對node進行LL。

程式碼實現：

pTree Rotate_LR(pTree tree)
{
    pTree temp = tree->lchild;
    tree->lchild = Rotate_RR(temp);
    return Rotate_LL(tree);
}

由於RL和LR是對稱的，同樣只需將所有的R換成L即可。此處不再贅述。