一、放縮法：

二、常見的放縮公式：

三、和放縮法常常相關聯的方法：

四、典例剖析：

有空再編輯。

是學生感覺比較難的數學內容之一，記住以下的常見變形是很有效的。

由於\((n-1)(n-1)<n(n-1)<n^2<n(n+1)<(n+1)(n+1)\)，

故由倒數法則得到

\(\cfrac{1}{(n+1)(n+1)}<\cfrac{1}{n(n+1)}<\cfrac{1}{n^2}<\cfrac{1}{n(n-1)}<\cfrac{1}{(n-1)(n-1)}\)

\(\cfrac{1}{(n+1)(n+1)}<\cfrac{1}{(n-1)(n+1)}<\cfrac{1}{n(n-1)}\)

\(\cfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}<\cfrac{1}{2n(2n-1)}\)；等等。

\(\fbox{例1}\)(2017寶雞中學第一次月考第21題改編)

已知函式滿足\(f(n)-f(n-1)=4(n-1)，n\in N^*\)，

①求\(f(n)\)的不等式；

分析：如果能意識到\(a_n=f(n)\)，則應該想到用累加法求解，得到\(f(n)=2n^2-2n+1\)

②求證：\(\cfrac{1}{f(1)}+\cfrac{1}{f(2)}+\cfrac{1}{f(3)}+\cdots+\cfrac{1}{f(n)}<\cfrac{3}{2}\)

證明：由於\(\cfrac{1}{f(n)}=\cfrac{1}{2n^2-2n+1}<\cfrac{1}{2n^2-2n}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n})\)

第一項保持不動，\(\cfrac{1}{f(1)}=1\)，

\(\cfrac{1}{f(2)}<\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{2})\)；

\(\cfrac{1}{f(3)}<\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})\)；

\(\cdots\)

\(\cfrac{1}{f(n)}<\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n})\)

故\(\cfrac{1}{f(1)}+\cfrac{1}{f(2)}+\cfrac{1}{f(3)}+\cdots+\cfrac{1}{f(n)}\)

\(=1+\cfrac{1}{2}[(1-\cfrac{1}{2})+(\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{3})+\cdots+(\cfrac{1}{n-1}-\cfrac{1}{n})]\)

\(=1+\cfrac{1}{2}(1-\cfrac{1}{n})=\cfrac{3}{2}-\cfrac{1}{2n}<\cfrac{3}{2}\)；