在影象處理實踐中，將灰度圖轉化為二值圖是非常常見的一種預處理手段。在Matlab中，可以使用函式BW = im2bw(I, level)來將一幅灰度圖 I，轉化為二值圖。其中，引數level是一個介於0~1之間的值，也就是用於分割影象的閾值。預設情況下，它可取值是0.5。

現在問題來了，有沒有一種根據影象自身特點來自適應地選擇閾值的方法呢？答案是肯定的！我們今天就來介紹其中最為經典的Otsu演算法（或稱大津演算法）。該演算法由日本科學家大津展之（Nobuyuki Otsu）於1979年提出。這個演算法看似簡單，卻與統計分析中的“方差分析”方法有很深的淵源。有興趣的讀者也可以參考演算法原文《A threshold selection method from gray-level histograms》（線上瀏覽地址：http://wenku.baidu.com/view/996e972d7375a417866f8f5d）我們今天在介紹該演算法原理的基礎之上，通過簡單的Matlab程式碼來演示它的實現。

Matlab的幫助資訊中指出：To compute the level argument,you can use the function graythresh. The graythresh function uses Otsu's method。可見，函式graythresh()就是Matlab中的大津法實現。如果對Otsu演算法的原理並不感興趣，完全可以直接呼叫graythresh()函式，而無需過多關係其中的技術細節。

在大津法中，我們定義組內方差為

通過選擇使得上述組內方差最小化時的閾值t，就可以使得影象中的前景和背景儘可能的被區別開（假設我們將最終影象裡被分開的兩部分稱為前景和背景）。w

大津展之證明最小化組內方差（intra-class variance）與最大化組間方差（inter-class variance）是等價的，於是有

又因為（其中 μ 表示均值或期望）

可以推出

這個證明僅僅涉及一些算術上的推導，我簡單演示如下

最後我們給出在Matlab中實現的程式碼，這個程式碼的最初版本來自維基百科，為了與前面的公式中的標記相一致，我略有修改。

function level = otsu(histogramCounts, total)
sum0 = 0;
w0 = 0;
maximum = 0.0;
total_value = sum((0:255).*histogramCounts');
for ii=1:256
    w0 = w0 + histogramCounts(ii);
    if (w0 == 0)
        continue;
    end
    w1 = total - w0;
    if (w1 == 0)
        break;
    end
    sum0 = sum0 +  (ii-1) * histogramCounts(ii);
    m0 = sum0 / w0;
    m1 = (total_value - sum0) / w1;
    icv = w0 * w1 * (m0 - m1) * (m0 - m1);
    if ( icv >= maximum )
        level = ii;
        maximum = icv;
    end
end

end
 

上述函式中的引數histogramCounts是影象的直方圖, total影象的總畫素數。來看下面這段呼叫上述函式的測試程式碼。

>> img = imread('otsus_test.jpg');
>> [counts x] = imhist(img);
>> [m n] = size(img);
>> level = otsu(counts, m*n);
>> output = img;
>> output(output<level) = 0;
>> output(output>=level) = 255;
>> imshow(output)

然後是基於Otsu演算法獲取的二值圖

更多有趣有用的影象處理演算法還可以參考我的《數字影象處理原理與實踐（Matlab版）》。