導函式的形式：

      

       推導： 

                

       例題： 求： ,在 h-> 0 時的導數；

左極限，左導數等價；  右極限，右導數等價；

對於間斷點處，必須用定義證明其導數。  

        例題： 求： 在x=1處的可導性。

二項展開式：

     

     排列組合計法：

           

    排列組合法的理解：

           

導函式的定義式：

       y',  f'(x)  或  dy/dx;

常見導函式公式：   

         1. (a^x)'  = a^x * ln a;      （logˇa x)' = 1/x* ln a ;

         2.sinx ' = cosx ,   cosx ' = -sinx , tanx ' = sec^2 x ,  注： 餘割：csc x = 1/ sinx  ;   正割： sec x = 1/ cos x;  餘切：cot x = 1/tanx; 

         3.sec x ' = tanx * sec x ;    csc x ' = - csc x*cot x;  cot x ' = - csc^2 x ;   

導數的幾何意義：

     法線方程：   y - f(xˇ0) = - 1/f'(xˇ0) *(x-xˇ0);

     切線方程：  y- f(xˇ0)  = f'(xˇ0)* (x-xˇ0);

可導，連續，極限三者間的關係：

      函式在一點可導，則函式在該點  一定 連續；

      函式在一點連續，函式在該點不一定可導。 （如： y = |x|;）

       可導 ----->   連續----->  有極限；  連續 ----\---> 可導；   無極限 ----> 不連續 ----> 不可導；

函式的求導法則：

   *四則運算：

            1.（x +- y +- z )' = x' +-  y'  +- z'

            2.  (x*y*z)' =  x'yz + xy'z + xyz'

            3.(x/y)' =  ( x'y -xy' ) / y

  *反函式的求導法則：

            1.關於 y=x 對稱 的兩直線 斜率關係：   kˇ2 = 1/kˇ1;  ，即 f'(x) = 1/f'(y)   ;

                例子： y = arc sin x;   y = arc tan x;  （注意，函式的複合關係運算式：  sin( arc sin x )） = x );

               常見的三角函式的反函式求導結果：

                  1.弦類：       

                  2.切類：             

                  3.割類：待定...

  *複合函式求導法則：

            ,  鏈式法則；

            關鍵點：   1.弄清複合層次；

                             2.從外向內相乘；

                             3.不漏掉任何一層；

    *抽象函式求導法則：

            1.注意：  [f(sinx)] '  =/= f'(sinx), 它們選定的引數不同， 前者是以 x, 而後者 的sinx 相當於  x。變為了一個形參。

            2.注意： 抽象函式的求導，可近似看成簡單函式求導。

    *高階倒數的求導法則：

            

          高階導的物理意義： 一階導： 速度；   二階導： 加速度；

          常見函式的高階導公式：

               1.多項式的高階導： y= a0 * x^n + a1* x^(n-1) +....+ an* x^0 ;

                        若n在定義的 項 數 區間內：  

                        若n 不在 定義的 項數 區間內： 

               2.指數的高階導： 

                        

               3.正弦函式的高階導：

                         

               4.複合函式的高階導（2階）： y = f( ln x)

                                             ，注意 ： 對 複合一階導 求 導的情況:(y')'  = [ f'(ln x) ]' = f''(lnx)*1/x， 之所以會這樣，是因為求導的時候，參照的是因變數，此時的因變數為： x。        

               5.乘積的高階導：

                     

隱函式：

      定義：由二元方程確定的式子。

      屬性：

                任意一個顯函式都可以轉化為隱函式；

                隱函式 不一定 都能 轉化為 顯函式；

      *隱函式的求導法則：

              將式子中的  y 看成  y(x)求導，即  y' = y' ；   eg:   ( ln y )' = y'/y;  （理解： 顯示函式中，有：  x' = 1）。

             1.取對數法；  2： 取指數法；   （說明，主要是針對 冪 指 函式）；

      *由引數方程確定的曲線求導法則：

             由鏈式法則，和 反函式求導法則，可推匯出： 

                      二階的情況（全域性都是以 t 作為因變數）：  

                      三階的情況（全域性都是以 t 作為因變數）： 

微分：

    定義： y = f(x), ∆y = f(x + ∆x) - f(x), 可表示成： ∆y = A ∆x + O(∆x).其中A 為 不依賴於 ∆x 的常數。

                此時，稱： 函式 y = f(x) 在 點x 可微。

                而 A∆x 叫做 y = f(x)  的微分，記住： dy； 

   可微與 可導的關係：

        可微 《===》 可導， 且： dy = f'(x) * ∆x ； 

        dy = f'(x)dx , f'(x) = dy/dx，導數實質就是微分之商。

   微分的幾何意義：

        切線的縱座標增量的變動情況；

        當 ∆x --> 0時，∆x ~= dy, 則 f(x) ~=  f(x0) + f'(x0)(x-x0)。  它的意義是，將曲線上的點代入直線研究其性質。 

   微分的運演算法則：

        1.四則運算同導數；

        2.複合函式的不變性:

             dy = df[g(x)] = f'[g(x)]*dg(x) = f'[g(x)]*g'(x)*d(x)， 可見，它是從 外層 至 內層依次求微分，直至求到 dx。

        3.隱函式運演算法則：

              複合函式的中間不變性。 即 x 與 y 的地位平等，不需將 y 看成 x 的函式；

        4.湊微分法則： 

               待定；

        5.函式值的近似運算公式： f(x) ~= f(x0) + f'(x0)(x - x0);   

              eg: f(x) ~= f(0) + f'(0)x;   注意，這裡的函式值，是任意值。        

    微分中值定理：

         1.費馬定理： 若f(x) 在x=x0處可導，且為極值點， 則其導數： f'(x0) = 0;

         2.羅爾定理：

                 y = f(x) 在 [a,b]連續，在(a,b)可導，稱： f(x)在[a,b]平滑；

                 當f(a) = f(b) 即函式等高時，則

                 在(a,b)內，至少存在一點： ξ，使得 f ' (ξ) = 0;

          駐點： 可導函式的每兩個零點之間，存在的一個導數為零的點；

          拐點：一階導數的每兩個零點之間 ，存在的一個二階導數為零的點；

          零點定理的前提： 函式必須連續；

          使用場景: 

                   1.題目中出現： f'( ξ)時候，可考慮。

                   2.證明方程的零點存在。（方法有： 零點定理； 羅爾定理，其關鍵是找 輔助函式；）

      拉格朗日中值定理：

           定義： 若 y = f(x) 滿足：(1)在[a,b]上連續；  (2):在(a,b)內可導；

                       則至少存在一點  ξ ∈(a,b),使 f(b) - f(a) = f'(ξ)(b -a ),即

                       [ f(b) - f(a) ] /( b - a ) = f'(ξ): 其解釋為：存在一點ξ，使得 a,b 兩點割線斜率 = 點ξ 的 切線斜率；

            有限增量公式： ∆y = f ' (x +  θ*∆x) * ∆x ,(0<θ<1) ， ( 函式值的近似計算公式：∆y ~= f'(x0) * ∆x)

             定理：

                  在一個區間上導數恆等的兩個函式只相差一個常數；

               應用例題：

                  （1）不等式證明：|f'(x)| ≤ M  =>  |f(x) - f(y)|  ≤ M|x-y|

                  （2）證明恆等式 為常值函式；

       柯西中值定理：

            定義： 設函式 f(x) 和 F(x)在 [a,b]連續，在(a,b)可導,則有：[ F(b) - F(a)] *f ' (ξ) = [f(b) - f(a) ]* F ' (ξ)。

                      且F '(x) ≠0時，存在 ξ∈(a,b),St