高等數學筆記第四天
0/0, ∞/ ∞ 未定式的處理：
洛必達法則：(適用於 0/0型 未定式)
內容： 若 lim f(x)/F(x) = 0/0, 則有 f(x) / F(x) = lim f'(x) / F'(x) ,注意，它對於： x-> A 或者 x-> ∞都適用。
前提： lim f'(x) /F'(x) = A 或者 ∞;
若lim f(x)/ F(x) = ∞/ ∞， 也可以適用洛必達法則；
趨於∞的速度，對數函式 < 冪函式 < 指數函式.
對於較為複雜的式子，應當及時分離 非零 極限的乘積 因子，可減少計算量。 此外，可使用等價無窮小的替換。（前提是必須為等價無窮小才行）。
常見的三個等價無窮小：
1.指數： 
2.對數： ln(1 + x) ~ x;
3.冪數： 
其它未定式的處理：
1. ∞*0 型未定式：
lim f(x)*g(x) ----簡單因子放入分母---> 
, 即 轉化為： 0/0 ,或者 ∞/∞;
2.∞-∞型未定式:
lim [ f(x) - g(x)] --->通分 或者 分母 有理化 ; 即 將 整式 轉換為 分式；
eg: lim sec x - tan x , x-> π/2; 
3.冪指函式：
方法見之前的筆記。
eg: lim x^x,x -> 0+; 
; 
泰勒公式:
內容: 設 f(x) 再 x0 處有 n 項導數，則 存在 x0 的一個領域，對於該領域 內任一點x 有：
f (x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0) / 2! * (x-x0)^2 + ...... + f^n(x0) / n! * (x-x0)^n + Rn(x);
其中，Rn(x) 為 餘項， Rn(x) = O( (x-x0)^n), 讀作： Peano餘項。
泰勒中值定理：
內容: 若f(x) 在 x0 的領域記憶體在 直到 n+1 階 的導數，則x0 的某個領域內有：
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0) + f''(x0) / 2! * (x-x0)^2 + ...... + f^n(x0) / n!(x-x0)^n + Rn(x).
其中，Rn(x) = f^(n+1) (ξ) / (n+1)! * (x-x0)^ (n+1), ξ在 x 與 x0 之間 ；Rn(x) 稱為 拉格朗日餘項
即 ξ = θx + (1-θ)x0, θ∈(0,1);
麥克勞林公式：
內容： 泰勒公式在x = 0 時的情況：
即 f(x) = f(0) + f'(0)*x + f''(0)/2! * x^2 + ...... + f^n(0) /n! * x^n + Rn(x)
帶拉格朗日餘項的麥克勞林公式： Rn(x) = f^(n+1) (θ*x)/(n+!)! * x^(n+1)， θ∈(0,1）；
常見的麥克勞林公式：
1.餘弦： 
2.正弦： 
3.指數： 
4.對數： 
5.冪數： 
駐點，可能為不可導點，也可能為極值點。
極值的第一充分條件：
1.點x0處連續；
2.點 x0 的去心 領域可導；
3.f'(x0-) 與 f'(x0+) 導向
極值的第二充分條件：
1.f'(x0) =0,且f''(x0)=/= 0;
2.若 f''(x0) <0,f(x0) 為極大值
3.若 f''(x0) >0,f(x0) 為極小值
曲線的凹凸性：
1.
,即 弦終點 > 弧中點，為上凹， 此時 f''(x) >0; 即一階導遞增，斜率值逐漸變大；
2.
，即 弦終點 < 弧中點，為上凸， 此時 f''(x) <0; 即一階導遞減，斜率值逐漸變小；
曲線凹凸性的判定定理：
若f(x) 在 [a,b] 連續，在(a,b) 上二階可導，則 f''(x) <0 時，為凸； 若 f''(x) >0，為凹。
拐點： f''(x0) =0,拐點指： (x0,f(x0) )
可能出現拐點的是： f''(x) =0的點 或者 f''(x0) 不存在的點。
求駐點 或 拐點 的步驟：
1.確定定義域；
2.尋找駐點；（一階導的時候，已經包括尋找不可導點。）
3.尋找不可導點；（二階導確定不可導點，必須根據一階導確定。）
斜漸進線：（稱之為線，但是它只在某一點有意義。）
y=kx+b, 其中，
, 
不定積分：
1.定義： 連續函式一定有原函式，且原函式可導，且不唯一。
運算式： 
其中，
稱為積分號， f(x) 稱為 被積函式； dx 稱為： 積分變數； F(x) 稱為 原函式， C為 常數
2.常見函式不定積分表：
1. 原一次冪函式： ∫k dx = kx +C
2. 原普通冪函式： ∫ x^u dx = x^(u+1) / (u+1) + C
3. 原對數函式： ∫ 1/x dx = ln|x| +C
4. 原三角函式相關：
原正弦： ∫ cosx dx = sinx +C
原餘弦： ∫ sinx dx = - cosx +C
原正切： ∫ 1/cos^2(x) dx= ∫sec^2(x) dx = tanx + C
原正割： ∫ sec(x)*tanx dx = sec x +C
原餘割： ∫ csc (x)*cotx dx = -csc x + C
原餘切： ∫ 1/sin^2(x) dx =∫ csc^2(x) dx = -cot x +C
原反正弦： ∫ x/ √(1-x^2) dx = arc sin x +C
原反餘弦：待定
原反正切： ∫ x/(1+ x^2) dx = arc tanx + C
原反正割： 待定
原反餘割：待定
原反餘切：待定
5. 原指數函式：
普通指數： ∫ a^x dx = a^x / ln(a) + C
特殊指數： ∫ e^x dx = e^x +C
常見的積分聯想：
1. 1/(x^2 +1) ~ arc tan x
2. tan^2(x) ~ sec^2(x)
3. sin^2(x/2) ~ 二倍角公式；
二倍角公式：
1. sin^2(x) = (1- cos 2x) /2;
2. cos^2(x) = (cos 2x +1) /2;
3. cos 2x = 2*(cosx)^2 -1 = 1- 2*(sinx)^2;
換元積分法：
第一類換元法：
若 ∫ f(u) du = F(u) + C, F'(u) = f(u), 則 ∫ f( g(x) ) * g'(x) dx = [ ∫ f(u) du ], u = g(x);
關鍵： 1.外函式可積； 2.內函式湊微分；
eg: 
常見微分收納等式：
1. 冪函式相關： ∫ f(x^n)*x ^(n-1) dx = 1/n ∫ f(x^n) d x^n
2x dx = d x^2
1/x^2 dx = - d 1/x
1/√x dx = 2d√x
1/x dx = d lnx
2.三角函式相關：
sinx dx = - dcos x
cos x dx = dsinx
割與切的關係：
(tanx)^2 +1 = (secx)^2;
(cotx)^2 +1 = (cscx)^2;
∫csc x dx = ln | csc x - cot x | +C
∫ sec x dx = ln | sec x + tan x| + C
∫ tanx dx = - ln|cos x| + C
∫ cot x dx = ln |sin x| + C
三角函式積化和差公式：
sinxcosy =1/2 *[s(x+y) + s(x-y)]
cosxcosy =1/2 *[c(x+y) + c(x-y)]
sinxsiny = -1/2 *[c(x+y) - c(x-y)]
3.指數： e^x dx = d e^x;
第二類換元法（反解x）：
步驟： 1.換元： x= g(t) ;
2. dx = g'(t)dt
3.求出 F(t) + C ，回代： t = g^(-1) (x), 反函式。
常見代換：
1.有理代換：（一次式，一次式相除）
∫ (
)dx ,令 u = 
求解；
2.三角代換（二次式）：
， 可令： x = asin t
, 可令： x = a sec t
, 可令： x = a tan t , 或者 a cot t ;
注意： 三角代換的回代 ， 需要使用 勾股定理；
3.倒數代換：（分母較高時適用）
即 令 x = 1/t, 求解。
分佈積分法：
1.形式一： ∫ u v' dx = uv - ∫u' vdx， 步驟： 觀察 --》 湊微分---》 分步積分
原則： 1.dv要容易湊出； 2. ∫vdu 比 ∫u dv 容易；
2. 形式二：∫ udv = uv - ∫vdu
總結（注意，這裡的uv是形參，雖沒有實際意義，但是一旦確定，它便具有了位置屬性。從形參而言，預設v的複雜度是要高於u的。 原函式中，v'是將複雜度高的函式進行展開，加大整體複雜度； ∫vdu則是期望uv二者均往小的複雜度上運算）：
uv的選取：
冪函式 與 指數函式，對數函式相乘時，冪函式 作為 u;
相對的，當冪函式與 對數，反三角函式相乘時，選冪函式 作為 v；
基本函式中，選取u的優先順序： 反，對，冪，指，三；
注： 微分收納的前提： 內部一致，eg: cos 3x dx =/= d sin3x = 1/3 dsin3x
有理函式的積分：（拆分式）
有理函式的分類：
1.真分式： 分子最高次< 分母最高次
2.假分式： 分子最高次> 分母最高次
真分式：
對真分式p(x)/q(x)，若分母可分成 兩個 多項式 乘積， 即 q(x) = q1(x1)*q2(x2),且它們無公因式，則它們一定可以拆分成兩個真分式之和。 即：
二次多項式不能拆分，則能拆分成 a^2 + b^2的方式；