隱函式求導方法：

       方法一：

           將y看成關於x的函式，即 (1/y)'=y'/2y 

       方法二：

           eg: xy + lnx + lny = 0;  令F(x,y)  = xy + lnx+ lny

           隱函式存在定理1

： dy /dx = - Fx/Fy,

                 其條件：1.具有連續偏導數；  2.F(x0,y0) =0，即存在零點；  3.Fy(x0,y0)=/=0,即隱函式的偏導不為零

二元隱函式微分法：

          隱函式存在定理2：

                     ， 

             注意，求偏導時，相互獨立，互不影響。

          解方程組時，可以運用行列式求解。

          雅可比行列式(隱函式存在定理3)：

                 假設有： F=f(u,v),  u= f(x,y) , v = f(x,y)  以及  G = f(u,v),   u = f(x,y)  ,v = f(x,y) 

                 雅可比行列式（係數行列式）：

  ，記作 J = 

                  則有:    ,   ,注意，它們不是對稱關係！！！

方向導數：

       前提： 1.可微 ；   2.二元函式及以上；

        記法：  

       計演算法則： 

       推廣：（三元）

           

          其中，cosα，cosβ，cosγ  稱為： 方向餘弦；    cosα = x/ ||

        eg: 求 u = x^2*y*z 在點p(1,1,1) 沿方向(2,-1,3) 的方向導數

   梯度：

          grad f(x,y) = (fx,fy)向量；

   方向導數是一個數，梯度，是一個向量；

   方向導數 = 梯度 與 方向L的單位向量 的數量積；

                  = 梯度 的模長  * 1 * cos <梯度，方向L>

多元函式的極值及求法：

       多元函式的極值的必要條件：

              fx(x0,y0)=0, fy(x0,y0) =0,即 有駐點

               注意: 極值點 --->駐點   駐點 --/->極值點

      多元函式有極值的充分條件：

              函式具有一階以及二階 連續偏導,令fxx(x0,y0) = A ,fyy(x0,y0)=C,令 fxy(x0,y0) = B

              1.當 AC-B^2 >0時，有極值，若 A<0,為極大值，若A>0,為極小值

              2.當AC-B^2 < 0時，無極值；

              3.當AC-B^2 = 0時，可能有極值，也可能沒有極值；（注意，若二階偏導含有xy，將駐點值代入即可）

      極值點可能是駐點，也可能是不可導點（常見的比如: 分母為零等限制）；

      最值可能在極值點，也可能在定義域邊界上存在。

         二元函式的最值同理； 要麼將駐點值代入比對； 要麼將定義域邊界代入比對；

  條件極值：

         拉格朗日乘數法：

               1.構造一個新函式  L(x,y)  = f(x,y)  + λφ(x,y)， 其中，λ稱為拉格朗日乘子； φ(x,y)稱為條件函式；  f(x,y)稱為目標函式

               2.求駐點；

               3.構造方程組：  各自的偏導=0,以及 φ(x)=0;

          eg:   u = xyz, φ(x)=1/x+ 1/y + 1/z - 1/a;

             構造方程組：   ，

              思路： 對程式； ---> 求 xyz---->  回代  ---> 求x,y,z;

二重積分：

    物理意義： 

           曲頂柱體的體積：   V =   ，其中， λ=1/n

              記作：   

              其中,    D叫做積分割槽域； 

                          dσ叫做 面積元素；

                          f(x,y)叫做  被積函式；

                          x,y叫做   積分變數；

   性質：

            1.線性性： 即 滿足數乘分配律；

            2.積分割槽域的可加性

            3.若 f(x,y)  = 1 , 則 

            4.保不等式性： 若 f(x,y) <= g(x,y) ,則有：  

                  另：  

            5.積分估值： 若 f 在區域D中，有m<= f(x,y) <= M， 則有：  

            6.二重積分中值定理：

                     

                注：定積分的中值定理：　

二重積分的計算：

      1.利用直交座標計算D的面積：   分為x型面積；  y型面積；

        其中，x型面積： 

                   y型面積： 

             x型面積時，y的上下界只能用線段表示，而不能用點表示；

             同理，y型面積時，x的上下界只能用線段方程表示，而不能用點 表示；

        通常在計算時，可以將xy分開，因為針對特定的積分變數，其餘變數都視作常數。

           eg:       

         在選取x型與 y 型區域時候，利用好技巧則會簡化很多：

              eg: , D是直線y=x,y=0,x=π,所圍成的閉區域； （看成什麼型，就對什麼後積分）

              若先對y積分，再對x積分就很簡單；  （這是一個偶然性，但是從出題者角度來說則是必然性。）

              若先對x積分，再對y積分就很複雜；

         交換積分順序的技巧：

                1.畫出積分割槽域D；

                2.將要轉換的順序按照 直角座標系 法則進行轉換

              eg: I = 

    2.利用極座標系計算二重積分：

           公式： 

           注意，在極座標系中，只有θ型區域；

           當，f(r*cosθ, r*sinθ) = 1時，有： 

           eg: 計算： 

               注意，直交座標系與 極座標系的轉化 需要靠 D的區域作為橋樑；一般情況下，圓形等特殊圖形才可進行轉化；

                         鑑於θ極座標系中，只有θ型，而此時 ,r 的範圍： 注意，本質上仍是用關於θ的表示式表示，但是大多數情況下其表現出來的則是兩個單獨的點。 （這是由於圓錐曲線的特殊性等決定的。）

    3.二重積分換元法（用於輔助）：

                 

           其中： J(u,v) 為雅可比行列式:  J(u,v)  =  ，此時x,y充當的中間函式，u,v充當的最終變數

                   前提： 1.x(u,v),y(u,v) 在D' 上具有一階 連續偏導數

                              2.J(u,v) =/=0

                              3.變換 D' -> D 是 一對一的；

計算原則與步驟：

                    1.畫出積分域；

                    2.選擇座標系；

                    3.確定積分序；

                    4.寫出積分限（根據圖示法， 或者 不等式）

                    5.計算要簡便（充分利用對稱性，充分利用圖形（即選取座標系，選取區域形狀方面））