基本初等函式--->初等函式： 有限次四則運算； 

極限存在法則一：夾逼準則：

    eg:對於無窮項四則運算，lim 1/(n^2+1) + 2/(n^2+2) + ....+ n/(n^2+n)

 極限存在法則二：單調有界定理：

     eg:知道首項和關係項 的 遞迴數列。 

          x1 =10, x n+1=  

      其解決步驟：

            1.求單調性（根式有理化）， 關鍵： 

            2.證有界；

            3.對關係式求極限；

  關於無窮小量的重要極限1：

         推論：   

         常見的幾個實現：

  關於無窮小量的重要極限2（冪指函式的無窮大量）：

          <---->    

         推論：  

  無窮小量的比較：

       1.高階無窮小：  ，稱為： 阿爾法 是  碑拓  的高階無窮小，反之。 記作： 阿爾法= O(碑拓)

       2.低階無窮小：同上類比。

       3.同階無窮小：  ,C為常數。  稱為:  阿爾法 是 碑拓 的 同階無窮小。

       4.K階無窮小： ,C為常數，稱為: 阿爾法 是 碑拓  的 K階無窮小。

       5.等價無窮小：   ,稱為： 阿爾法 是 碑拓 的等價無窮小。 記作： 阿爾法 ~ 碑拓。

 無窮小量的運算：

       低階無窮小 +  高階無窮小 =  低階無窮小。 即：  

  等價無窮小的性質：

        1.自反性；  2.對稱性；  3.傳遞性；

  等價無窮小定理一：

         若，α ~ β，則  α - β =O(α) 或  O(β)

  等價無窮小定理二：

         若，α ~ β，則  lim f(x)*α = lim f(x)*β

         推論： α ~ α1,   β~ β1  ,則   lim f(x)*α  /  lim f(x)*β =  lim f(x)*α1 / lim f(x)*β1 。

  常用的等價無窮小：

        1.sinx ~ x;

        2. arc sinx ~ x;

        3.tan x ~  x;

        4.arc tan x ~ x;

        5. 1- cosx ~ x^2/2;

        6.ln(1+x) ~ x;

        7.e^x -1 ~ x;

        8.(1+x)^(1/n) -1  ~ x/n;

        9.(1+x)^(1/2) -1  ~ x/2;

函式連續的定義：

    定義一：      ：  前提： 1.x0 處函式有定義；   2.x0 處 有極限； 3.極限與函式值相等。

    定義二： ∀ε>0,∃δ>0,當  |x - x0| <δ時，有:|f(x) - f(x0)|<ε。 

 函式的左連續：

 函式的右連續：

 分段函式的連續性：  除了要考慮分段點外，還要考慮分段點處的連續性。

  函式的第一類間斷點：

        1.極限存在（無定義，或 有定義但函式值與極限不相同），稱為 ：可去間斷點；

         2.極限不存在，但左右極限存在，稱為：跳躍間斷點。（注意，此時，左右極限必須不相同。）

  函式的第二類間斷點：

         1.至少有一側 是 以 無窮為 極限 的點，稱為：  無窮間斷點。

         2.不斷震盪的極限情況； 稱為震盪間斷點。 

                   如：    函式   

                             其在點x=0處沒有定義，且當x趨於0時，函式值在-1,1這兩個數之間交替振盪取值，極限不存在。

   函式的連續性質：

        1.連續函式的四則運算：若 f(x)，g(x)在 x0連續，則，f(x)+-g(x), f(x)*g(x) ,  f(x)/g(x) 連續。

               推論：兩個連續函式的  和，差，積，商（分母不為零）仍然連續。  如： tanx = sinx/cosx

        2.反函式的連續性：

              若f(x)在定義域內單調且連續，則x=f ^(-1)(y) 在定義域內單調且連續。

        3.複合函式的連續性：  設 u = g(x)

                1.若 lim g(x) = u0,(x->0);   limf(u) =f(u0),(u->u0);  則 lim f[g(x)] = f(u0),(x->0);

                    說明： 複合函式，內極限，外連續，則極限運算與 連續函式運算順序可交換。

                2.若u=g(x) 在 x0處連續，且 y= f(u) 在 u0 = g(x0)連續，則y = f[g(x)] 在x0處連續；

                    說明： 複合函式，內連續，外連續，則總體任然是連續函式。

        4.基本初等函式： 

               基本初等函式在定義域內連續。

        5.一切初等函式，在其定義區間上連續。

              可利用該性質求極限：

                    1.若為連續函式，代入函式即可。

                    2.外函式連續，則對內函式求極限，再代入。

        6.冪指函式的連續性： (g(x))^(f(x))

              1.確定型：

                      x-x0時，f(x) ->b , g(x) -> a,則： lim( (g(x))^(g(x)) )=  a^b；

               2.未定型：

                     1. 1^ ∞ 型別，如： lim(1+2x)^(3/sinx),x->0； 

                     2.∞^0型別。

                     3.0^0型別。

                    它們的處理方法：  變換為： lim e^ ( f(x)*ln g(x) )處理。  主要的思路是，將冪指函式化簡為基本函式，原因是：利用指數，將一個指數轉換為對數，然後對數 與 冪數 狼狽為奸。。

                      例題：   lim (cosx) ^(1/ln(1+ x^2)), x-> x0;

     最值定理：

                f(x)在[a,b]上連續，則函式有界，取到最值。

     零點定理：

             f(x) 在 [a,b]上連續，且 f(a) 與 f(b) 異號，則 至少 存在一點  ξ，使得 f(ξ) = 0;

     介值定理：

             f(x) 在 [a,b]上連續，且M 和  m 分別是  f(x) 在[a,b]上的最值，則對任意的C  介於 [m,M]之間，在(a,b)至少存在一點 ξ，

使得， f(ξ) = C。

         舉例： f(x) 在[0,1]連續，對[0,1] 任一點x  有， 0<= f(x) <= 1,證 [0,1] 中必然存在一點c,使得  f(c) = C;