函式： 微積分的研究物件，是對映的一種。

   M:數集，M*：排零數集，M+:排零與負數數集

   U(x^0,δ）={x|x-x^0|<δ}:  領域，其中 δ 為半徑

   (x^0,δ): 去心領域

   D^f: f的定義域  R^f: f的值域  y:相    x: 原相

   沒有多餘的原相：滿射；  一對一： 單射（不同x對不同y）；   滿射+單射： 雙射；    每個單射可誘導一個逆對映（反函式）。

   （≠ø）x----> y(數集)：泛函；  （≠ø）x----> x:變換；    （點數集合）x----> R：函式

   外函式有界，則複合函式必有界；

   D(x)：狄利克雷函式。   =1，x是有理數；  0，x是無理數；

  f(g(x))函式的複合條件是： R^g ∩D^f≠ ø;

  基本初等函式： 冪函式，指數函式； 對數函式；三角函式； 反三角函式。

  收斂數列： n -> +∞, xn ->A,即  

  數列的極限嚴格定義： ε>0,∃N >0,n>N，|x^n-A| <ε;

  無界數列發散； 有界數列不一定收斂（如：擺動數列：1,-1,1,-1……）；

  高等數學證明分為兩步：分析，證明；

  數列與子數列的斂散關係：

      若數列的子數列收斂，則原數列必散發；

      若數列的子數列收斂於不同的極限，則原數列必發散；

       若奇次項數列 與 偶次項數列 收斂於同一極限，則數列收斂。

  收斂數列的性質：唯一性，有界性；保號性。

  函式收斂的直觀定義： x -> x^0,f(x) -> A;  或者：  x -> ∞, f(x) -> A。

  函式收斂的嚴格定義：  ε>0,∃σ >0,當|x-x^0|<σ，|f(x)-A| <ε;  或者：  ε>0,∃X >0,當|x|>X，|f(x)-A| <ε;

  函式極限的性質：唯一性，區域性有界性，區域性保號性。

  無窮小： 函式的極限為0時，稱為無窮小。

       注意: 任何非零常數都不是無窮小； 0時唯一無窮小常數； 表達時要與自變數聯絡起來；

  無窮大： 自變數變化，因變數的絕對值趨於無窮大；

        注意：任何常數都不是無窮大； 無窮大必須與自變數聯絡起來表達

  無窮大一定是無界函式；無界函式不一定無窮大；

  無窮小的運演算法則：

     1.無窮小加無窮小，還是無窮小；

     2.有界函式與無窮小的乘積，仍然是無窮小；

     3.有限個無窮小的乘積，仍然時無窮小；

   極限的運演算法則：

         1.lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = A ± B;

         2.lim[f(x)* g(x)] = lim f(x)*lim g(x) = A*B;

         3.lim f(x)/g(x) = ( lim f(x) ) /( lim g(x) ) = A/B (B≠0);

         4.lim [C f(x)] = C lim f(x);

         5.lim [ f(x)] ^n = [lim f(x)]^n;

    有理函式：

         f(x) = P(x)/Q(x)  = (a0*x^m + a1*x^m-1+....+a m-1*x+ am) / (b0*x^n + b1*x^n-1 + ....+b n-1 *x + bn)

     有理函式的極限：

          lim有理函式 = a0/b0,m=n;  =0,m<n;   =∞,m>n。