圖形學中經常要涉及使用各種格式的浮點數型別，如float,half,也會經常用到各種格式的浮點數型別PixelFormat，例如R10G10B10A2，R11G11B10，RGBHalf...。在合適的情況下使用合適的浮點數型別，是保證效率和效果的基礎。雖然有些是大學本科課程，但牢記於腦海並時刻保持對每種浮點數精度的敏感也不易，此文總結並詳細討論一下各種常見浮點數的精度，範圍，精度分佈及應用特點。

   1. 小數的二進位制表示

     首先浮點數只是一種小數的表示方式，整數的二進位制表示是一個簡單的十進位制到二進位制的轉換，即從右到左，每個二進位制的1表示1，2 ,4 , 8 , 16，例如111即7，而小數的二進位制則是從從左到右的每個1依次表示為1/2, 1/4, 1/8, 1/16,例如111.111即表示了1+2+4+0.5+0.25+0.125即7.875。

     我們知道小數和整數不一樣，小數在一段區間內是無限多個的，所以無論怎樣都不能連續的表示出一段區間內的所有小數，即小數的表示存在一個最低精度的，如果向上面那樣用三位表示小數部分，那小數的精度就只有1/8，即7.875可以表示，但是7.876就表示不出來了，也會變成7.875.

     上面這種表示方法小數點的位置是固定的，固定小數點前有多少bit表示整數，小數點後有多少bit表示小數，所以叫做定點數表示法，定點數的特點是表示的小數的精度是均衡的，例如fixed 11型別的定點數，在-2到2區間內的精度一直是1/256，因為他有8位表示小數。

      而浮點數是把小數拆成尾數（mantissa -M）和指數（exponent- E）來表示，根據IEEE754標準，表示一個小數的方法為

其中S是1bit的符號位，表正負

M是1.xxxxx的一個小數，而M正是對這個小數部分XXXX的二進位制表示

其中E是指數部分，E就相當於將二進位制的M中的小數點向右（E為正），或向左（E為負）移動e個位，這也是浮點數中浮點的意義，即浮點數是通過浮動1.xxx的小數點的位數來表示任意大小的小數，E的移動是2倍的改變，所以浮點數可以表示的範圍很大，但是是以損失精度為代價的。

浮點數中的E的正負同整數的正負表示不一樣，它不是補碼錶示法，即不用首位表正負，而是按照無符號處理的值減去整個值域的中位數成為最終的值，例如8位的E的中間數是127，那麼00000000就表示-127，而11111110則表示127，E的範圍是

此外浮點數的表示有一些特例，大部分浮點數型別要求可以表示一個無窮大值，所以浮點數在一些情況下不只是按照上面的公式計算數值，還有下面幾個特殊情況：

E全為0，此時M將變成0.xxxxx的形式，不然永遠不能表示0，所以M為全零，E為全零就是表示的浮點數0，如果E全零，而M不全零，那麼也按照上面公式將0.xxxxx向左移最大的127位，這個時候相當於表示了一個非常接近於0的一個小數（小數點後充填了127個0）。

E全為1，此時不按上面公式，如果M全為0，表示正負無窮大，如果M不全為0，表示不是一個合理的數字（NAN，not a number）。

    2.浮點數的精度和範圍

    浮點數的精度由整數部分的精度和小數部分的精度組成：

     關於整數部分的精度，浮點數可以保證在正負範圍內的整數連續，這個+1是因為M的整數部分是1導致的（當然要保證E的最大表示範圍要大於等於M的位數），所以float32可以保證在正負2^24 之間的整數是同int32是可以對應的，但是超過 2^24的部分不能保證所有的整數部分都可以被表示，超過的部分只能表示2^24以內整數的2^N倍（因為這時沒有有效的尾數，只能繼續偏移小數點了，當然N還要取決於E的範圍），所以從float 強轉到int要保證準確的話，float的值最多就在2^24以內，即16777216以內，同樣double轉long時保證正確性，double的值最多也在2^53以內。

    相對於整數部分的精度，其實我們往往更關心小數部分的精度，因為通常浮點數的E的最大值要大於M的位數，所以在相當大的範圍內整數是能連續不丟失精度的，所以小數部分的精度就很關鍵。浮點數相比於定點數，在同樣bit數下面表示了更大的範圍，但是損失了精度，且有個特點，浮點數的精度隨著絕對值的增大而大幅度降低。

    M的bit數就定了這個小數最大的精度，因為M裡面存在了一個1，所以 浮點數的小數部分最多的有效數字是m+1 位，出現在-1到1之間，即0.xxx的時候xxx最多可能有m+1位，精度至少可以到達，float32 就是，當然如果e可以再往左浮動，還可以精確到更小，在E為全0時，可以表示到的最接近0 的那個正數是小數點之後有127+22=149個0，即2^-150,隨著浮點數的增大，其小數部分的有效數字隨著值增大而減少，1.xxxx的時候精度最多隻能到1/2^m了，2.xxxx就最多隻能到1/2^(m-1).

   所以總體上看，浮點數在-1到1之間，也就是0.xxxx的部分精度非常高，最少可以到1/2^(m+1),無限接近0的過程中對於float32最高可以到達1/2^(127+23)。隨著整數部分變大，小數精度就逐漸喪失，直到2^(m+1) -1 將完全沒有小數位。

  至於浮點數可以表示的極限值，首先它可以表示一個形式上的正負無窮大，除了無窮大之外，最大值出現在E為2^(e+1)-2  （對於float32即e為127,128是無窮大） 並且M為全1 的時候，這時候的值對於float32來說是(2^24 -1)* 2^(127-23),即2^128 - 2^104,最小值同樣。這個值大約是3.4e+38，其實討論這個極大值在多數情況意義並不是很大，因為它的精度已經降到了1.7e+38，所以對於浮點數如果拋開精度去談範圍已經沒有太大意義，使用浮點數一定要考察它在不同值區間上的精度變化。

3.圖形程式設計中常用的幾種浮點數及其精度隨值域的改變

圖形學中用於無壓縮的貼圖或者rt中，常用的浮點型別有很多，無論是R10G10B10A2，R11G11B10，RGBHalf，從組成的基礎上看，都是歸結到這幾種浮點格式：

32bit， 即上面舉例討論的最代表性的float型別，1位符號位，23位M，8位E，例如RGBA32F格式

16bit，即half，半精度的浮點型，1位符號位，10位M，5位E，例如RGBA16F格式

11bit，無符號浮點數，6位M，5位E,例如R11F_B11F_G10F格式

10bit，無符號浮點數，5位M，5位E,例如RGB10_A2格式

上面這些通常都可以表達HDR資訊，即可以大於1，而LDR格式型別如RGBA8則用8位表示小數，它就不是浮點數，可以理解是定點數，表示精度恆定間隔1/256的一些小數。

以10bit的浮點數為例子，繪製出它的精度誤差如下

其中藍色是8bit頂點數的誤差，黃色是10bit浮點數的，可以看到，隨著0.25,0.5,1的提升，它的誤差會變得非常大，

10bit的浮點數在1.xxxx之內的精度也只有1/32，大約0.03，要進入0.25以下才能精確到百分位，在7.xxx左右就降低到只有十分位了

11bit的浮點數在1.xxxx之內的精度有1/64，只有在0.5以內能保證百分位，在15.xxx左右降低到十分位。

而16bit的浮點數在15.xxxx之內都能保證百分位，在255.xxx能保持十分位，32bit的浮點數在2^21左右保證十分位，在2^17左右還能保證百分位。

由此可以看出類似10bit 11bit 這種所謂的小浮點數其實高精度區間非常有限，他們只適合表示差不多10一下的一些小數。

4.實際應用中的選擇

在圖形程式設計中，使用小數的地方很多，位置，uv，顏色，法線，pbr的引數等等，使用的bit數越高，精度效果越好，但是效能會越差。

對於位置來說，由於場景的範圍可能很大，且仍然需要精確到mm左右，所以一般都要用32bit的float，但有時對於超級大的場景來說即使用float32仍然不夠，當座標刻度大於2^21次即2097152左右就不能保證十分位了，比如說你場景單位是cm，這個值就大約是21km，超過21km的大場景地圖也並不是沒有的，這裡就捉襟見肘了。在UE4中，它為了保證這個毫米精度，噹噹前的攝像機視角超過這個2097152的座標位置，就會把場景的中心整體平移到攝像機這裡，這樣可以保證攝像機周圍的物體在渲染的時候，精度一定可以保證在mm的精度內。

對於uv來說，通常16bit的half已經足夠了，它在大約15以內具有百分位精度。

對於顏色，如果是LDR的值，大多數情況8bit的定點數是足夠的，如果是HDR，就又要取決於HDR的高值可能出現在多高，如果在8以內，RGB10A2是能夠保證十分位的，如果在16以內，可能需要升級到R11G11B10，如果有更高的值域範圍，那就需要升級到RGBA16F了。

對於法線，金屬度，光滑度等，通常因為可以歸一化01區間，所以8bit的頂點數就夠了。

總之我們的原則一定是在保證所需的效果的同時使用最低bit的浮點數格式，因為這意味著頻寬的節省，意味著alu的效率提升，最終就是幀率的提升和發熱量的減少。