在初學C語言時，一直體會不到所謂的浮點數容易造成誤差，最近看到一篇關於浮點數的文章，加上現在的學習，對浮點數的內部儲存方式有了更加深入的理解，於是也漸漸理解了浮點數的誤差。

        相比int等整型，float等浮點型別的表示和儲存較為複雜，但它又是一個無法迴避的話題，那麼就有必要對浮點一探究竟了。在計算機中，一般用IEEE浮點近似表示任意一個實數，那麼它實際上又是如何表示的呢？

已知：在機器儲存中，我們是利用定點數來表示浮點數的，顧名思義，定點數中小數點的位置是預設的（全小數的小數點在最左邊，全整的預設在最右邊），而我們下面介紹的IEEE浮點近似表示中：全小數使用原碼錶示，全整使用補碼錶示，因為原碼中，數軸關於原點對稱，可以用來表示“0”兩端對稱的數，而補碼是環狀數軸，計算方便，因此用來表示整數位。

以 F = （-1）^S*M*2^E的形式近似表示一個數。並且將浮點數的位表示劃分為三個欄位：

符號（sign）s決定這個數是負數（s=1）還是正數（s=0）。可以用一個單獨的符號s直接編碼符號s。
尾數（signficand）M是一個二進位制小數。（全定點小數）
階碼（exponent）E的作用是對浮點數加權，這個權重是2的E次冪（可能是負數）。k位的階碼欄位 編碼階碼E。

在單精度浮點格式（c語言的float）中，s，exp和frac欄位分別為1位，8位和23位,而雙精度浮點格式（c語言中的double）中，s，exp和frac欄位分別為1位，11位和52位。(在這裡也可以看出來，機器的位數不變，而浮點數佔位很多且疏散)

一個浮點數的常見位元位表示如下:

單精度：float
s（31）    exp（30~23）    frac（22~0)
雙精度：double
s（53）    exp（62~52）    frac（51~0）

而根據exp的值，被編碼的值可以分為三大類不同的情況。下面進行一一解釋。

情況1：規格化的值

即最普遍的情況，當exp，即階碼域既不為全0，也不為全1的情況。在這種情況下，階碼欄位解釋為以偏置（biased）形式表示有符號整數，即E=exp-Bias,exp是無符號數（1~254）。Bias是一個等於的偏置值，對於單精度來說，k=23，Bias=127，因此E的範圍是-126~+127。

frac被描述為小數值，且0≤frac<1,其二進位制表示為0.frac。尾數定義為 M=1+frac ，則M=1.frac。那麼就有1≤M<2,由於總是能夠調整階碼E，使得M在範圍1≤M<2,所以不需要顯示的表示它，這樣還能獲得一個額外的精度位。也就是說，在計算機內部儲存M時，預設這個數的第一位總是1，因此可以被捨去，只儲存後面的frac部分,等到讀取的時候，再把第一位的1加上去。

情況2：非規格化的值

當exp，即階碼域為全0時，所表示的數便為非規格化的值，該情況下的階碼值E=1-Bias（注:為從非格式化值轉換到格式化值提供了一種方法）。尾數M=frac
非規格化的數有兩個作用。

表示數值0。格式化數中，我們總使得M≥1，因此就無法表示0。而階碼全0時，且尾數也全0時，就可以表示0了。
表示接近0.0的數。它所表示的值分佈地接近於0.0，該屬性成為逐漸溢位。

情況3：特殊值

有兩種

階碼全為1，小數域全為0。它得到值為 +∞(s=0)或-∞（s=1），它在計算機中可以表示溢位的結果，例如兩個非常大的數相乘。
階碼全為1，小數域不全為0。它得到值為NaN（Note a Number）。它在計算機中可以表示非法的數，例如計算根號-1時的值。

浮點數的範圍和有效位

對於浮點數，其能表示的數值範圍和其有效位如下

型別    位元位    數值範圍    有效位
float    32    -3.410^38～+3.410^38    6~7位
double    64    -1.710^-308~1.710^308    15~16位
long double    128    -1.210^-4932~1.210^4932    18~19位

可見同位元位數的整型（例如int）要比浮點數（例如float）能表示的數值範圍要小很多，但是需要注意的，雖然浮點數能表示的範圍大，但是 它卻不能精確表示在其範圍內的所有實數，也就是說，它只能保證有效位的值是精確的，當表示的數值（小數部分）超過有效位時，所表示的數是無法保證精確的，甚至可以說是錯誤的。

浮點數的有效位：

有效位也可以理解為我們常說的精度。浮點數的精度是由尾數的位數來決定的。

對於單精度（float），它的尾數為23位，而2^23=8388608，共7位，也就是說最多能有7位有效數字，但至少能保證6位，因此其有效位為6~7位。

我們可以通過位數發現：0.0000001和0.0000002之間的其他數是沒有辦法通過單精度浮點數來精確表示的（這裡引入0的概念，即浮點數表示的0有可能只是一個趨近於0的值，實際運算的誤差可能會很大），也就是說，只有到小數點後面7位的值才是精確的，同理，觀察b和c的結果，0.0000002到0.0000004之間的其他數也是不能通過單精度浮點數精確表示的，更不幸地是，這之間的數，甚至只能精確到第6位。

這也就有了單精度浮點數的有效位為6~7位的結論。根據相似的方法，我們同樣可以得到雙精度浮點數的有效位為15~16位的結論，這裡不再贅述。

關於浮點數，需要再說幾句：

1、在二進位制，第一個有效數字必定是“1”，因此這個“1”並不會儲存。
2、浮點數不能精確表示其範圍內的所有數。

3、可精確表示的數不是均勻分佈的，越靠近0越稠密（所以也就是說無法表示所有的實數）。
4、預設舍入方式為向偶舍入，也被稱為最接近的值舍入。
 

（由於之前沒有怎麼理解，因此上面存在一些錯誤，非常抱歉，博主會盡快修改的）