浮點數的表示

科學計數法

任意一個十進位制數N可以寫成：

同樣，在計算機中一個任意進位制數N可以寫成

在計算機的世界裡R預設是2，表示二進位制，因此R在計算機中不用單獨儲存，而M和e需要單獨儲存

尾數(M)：用定點小數表示，給出有效數字的位數，決定了浮點數的表示精度

階碼(E)：表示指數(並不等同於e，他們之間有一種對應關係)，用整數形式表示，指明小數點在資料中的位置，決定了浮點數的表示範圍

比例因子(R)：不表示，預設值，一般為2

問題：在計算機中各個部分分別佔據多少位？

IEEE754標準浮點數的表示方法

單精度float總共32位，

32位的浮點數中:

S：浮點數的符號位（即最高位表示符號位），佔1位，0表示正數，1表示負數

M：尾數，佔23位，用小數表示，小數點放在尾數域的最前面

E：階碼，佔8位，階符采用隱含方式，即採用移碼方式來表示正負指數

指數e和階碼E之間的對應關係，應將指數e加上一個固定的偏移值，即：E=e+127

IEEE754標準中，一個規格化的32位浮點數 x的真值可表示為：

其中(-1)^s，s表示符號位，s=0則(-1)^0=1為正數，s=1則(-1)^1=-1為負數；

M表示階碼，預設為1 * M，e=E-127

其中，S、M、E都存在計算機中，而其它數值都是預設固定的

64位的浮點數：

S：浮點數的符號位（即最高位表示符號位），佔1

M：尾數，佔51位，用小數表示，小數點放在尾數域的最前面

E：階碼，佔11位，階符采用隱含方式，即採用移碼方式來表示正負指數

同理一個規格化的64位浮點數x的真值為：

例：

說明：

（1.75）10 = 1.11 * 2^0

對於32位的浮點數來說：

所以因為是正數S=0

因為是1.M的格式，所以M=1100000...0 (因為總共23位，存在2個1，所以後面21個0)

因為e=0，而E=127+e，所以E=127

補充說明：

(1)當階碼E為全0（0000,0000）且尾數M也為全0時，表示的真值x為零，結合符號位S為0或1，有正零和負零之分。

(2)當階碼E位全1（1111,1111即255）且尾數M為全0（0000,0000）時，表示的浮點數為無窮大

因此在32位浮點數表示中，要除去E用全00000000和全11111111(255)10表示零和無窮大的特殊情況，因此階碼E的取值範圍為00000001(1)到11111110(254)；又因為e=E-127，所以e的取值範圍為（1-127） ~ （254-127）即 -126 ~ +127

浮點數的加減運算

兩浮點數進行加法和減法的運算規則即操作過程大體分為四步：

1.0運算元的檢查

    判斷兩個運算元x或y中有一個數為0，則直接得出結果

2.比較階碼大小並完成對階

    判斷兩個運算元的階碼是否相同，如果相同則直接進行尾數的加減法運算。如果不同則需要使兩個運算元的階碼相同即對階，首先求出兩個數的階差，由於尾數左移會引起最高有效位的丟失，造成很大的誤差，尾數右移雖引起最低有效位的丟失，但造成的誤差較小，因此對階操作規定使尾數右移，尾數右移後階碼作相應增加，其數值保持不變。顯然，一個增加後的階碼與另一個階碼相等，增加的階碼一定是小階。

因此對階的原則是小階向大階看齊，即小階的位數向右移位（相當於小數點左移）每右移一位，其階碼加1，直到兩數的階碼相等為止，右移得位數等於階差。

3.尾數進行加或減法運算

4.結果規格化並進行舍入處理

規格化：

1/2 =< |M| < 1

(M是小數，所謂M>=1/2 即：|M|>=0.1，因為是按二進位制處理，1/2即右移一位即0.1)

但在浮點運算中，尾數求和結果的絕對值大於1（即溢位符號位為01或10），叫做向左破壞了規格化；此時將尾數運算結果右移以實現規格化表示，稱為向右規格化；尾數右移一位，階碼加1；以保證浮點數大小不變；

運算結果的絕對值小於1/2，叫做向右破壞規格化，此時將尾數結果左移實現規格化表示，稱為向左規格化；尾數左移一位，階碼減1，以保證浮點數大小不變；

（1）尾數用原碼錶示，[S]原=Sf.S1S2....Sn，如果尾數未發生溢位，但S1=0，則向右規格化，即S1必須等於1，否則需要進行規格化處理

（2）尾數用補碼來表示，[S]補=Sf.S1S2....Sn，如果尾數未發生溢位，但Sf 異或 S1=0，即Sf和S1相同，則向右破壞規格化

浮點數的溢位是以階碼溢位表現出來的（因為如果是尾數溢位可以通過相應的右移處理，所以尾數溢位稱為假溢位）。在加減法運算過程中要檢查是否產生了溢位；若階碼正常加（減）運算正常結束；若階碼溢位，則要進行相應處理