EM引數求解

我們將GMM帶入$\theta^{(g+1)}$中

$$\theta^{(g+1)} = {argmax}_\theta\int_zln\left\{P(X,z|\theta)P(z|X,\theta^{(g)})\right\}dz \quad(6.1)$$
其中
$$P(Z|X,\theta^{(g)}) = \prod_{i=1}^N P(z_i|x_i,\theta^{(g)}) = \frac{P(x_i|z_i)P(z_i)}{\sum_i^kP(x_i|z_i)P(z_i)} =\frac{N(x_i|\mu_{z_i},\Sigma_{z_i})\pi_{z_i}}{\sum_l^k N(x_i|\mu_l,\Sigma_l)\pi_l} \quad (6.2)$$
$$P(X,z|\theta) = \prod_{i=1}^N P(x_i,z_i|\theta) = \prod_{i=1}^N P(x_i|z_i,\theta)P(z_i|\theta) =\prod_{i=1}^N \pi_i N(\mu_{z_i},\Sigma_{z_i}) \quad (6.3)$$
將6.2和6.3帶入6.1
E-step：
確定Q函式，求函式的期望
$$\sum_{z_1=1}^k\sum_{z_2=1}^k...\sum_{z_N=1}^k \sum_{(i=1)}^N[ln\pi_{z_i} + ln(N(x_i|\mu_{z_i},\Sigma_{z_i}))]\prod_{i=1}^NP(z_i|x_i,\theta^{(g)}) \quad (6.4)$$
令
$$f_i(z_i) = ln\pi_{z_i} + ln(N(x_i|\mu_{z_i},\Sigma_{z_i}) \quad (6.5)$$
$$P(Z) = \prod_i^N P(z_i|x_i,\theta^{(g)}) \quad (6.6)$$
那麼式子6.4可以化解為：
∑z1=1k∑z2=1k...∑zN=1k(f1(z1)+f2(z2)+...+fN(zN))P(z1,z2,...zN)=∑

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