繪畫展覽門票每張5元，如果有2n個人排隊購票，每人一張，並且其中一半人恰有5元錢，另一半人恰有10元錢，而票房無零錢可找，那麼如何將這2n個人排成一列，順次購票，使得不至於因票房無零錢可找而耽誤時間，應該採用什麼演算法解決呢？（分支限界法）

這個是卡特蘭數的經典應用。那麼，我們先來看一下卡特蘭數是什麼東西呢？

Catalan數的定義：

令h(1)=1，Catalan數滿足遞迴式：h(n) = h(1)h(n-1) + h(2) h(n-2) + … +
h(n-1)*h(1)，n>=2

該遞推關係的解為：h(n) = c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)

問題描述:

12個高矮不同的人，排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人高，問排列方式有多少種？

應用公式：c(2n, n)/(n+1)。

而c(12, 6)/7 = 12*11*10*9*8*7/(7*6*5*4*3*2) = 132

注意：c(2n, n)/(n+1) = c(2n, n) - c(2n, n-1)

應用

1、括號化

矩陣連乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？

h(n-1)種

2、出棧次序

一個棧(無窮大)的進棧序列為1，2，3，…，n，有多少個不同的出棧序列?

輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)=h(n)。

類似問題：

                         買票找零

有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)

3、凸多邊形三角劃分

在一個凸多邊形中，通過若干條互不相交的對角線，把這個多邊形劃分成了若干個三角形。任務是鍵盤上輸入凸多邊形的邊數n，求不同劃分的方案數f（n）。比如當n=6時，f（6）=14。

f（n）=h（n-2） （n=2，3，4，……）

類似問題：

一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？

在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數？

4、給定節點組成二叉搜尋樹

給定N個節點，能構成多少種不同的二叉搜尋樹？

（能構成h（N）個） （這個公式的下標是從h(0)=1開始的）

求卡特蘭數程式碼如下：

void catalan() //求卡特蘭數
{
    int i, j, len, carry, temp;
    a[1][0] = b[1] = 1;
    len = 1;
    for(i = 2; i <= 100; i++)
    {
        for(j = 0; j < len; j++) //乘法
        a[i][j] = a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);
        carry = 0;
        for(j = 0; j < len; j++) //處理相乘結果
        {
            temp = a[i][j] + carry;
            a[i][j] = temp % 10;
            carry = temp / 10;
        }
        while(carry) //進位處理
        {
            a[i][len++] = carry % 10;
            carry /= 10;
        }
        carry = 0;
        for(j = len-1; j >= 0; j--) //除法
        {
            temp = carry*10 + a[i][j];
            a[i][j] = temp/(i+1);
            carry = temp%(i+1);
        }
        while(!a[i][len-1]) //高位零處理
        len --;
        b[i] = len;
    }
}