第六章基本符號演算和微分方程

主要內容：

• 計算極限
• 求導數
• 求常微分方程(ODE)的解析解和數值解
• 求積分

計算極限

命令一般形式：limit(f,m,direction)
f ： 需要計算極限的表示式，f中的變數必須使用syms定義，否則會因為無法識別而報錯
m： 指明計算f趨近於m時的極限，如果不填，預設是0
direction: 是一個字串，值有’left’,'right’和不填 ，分別代表求左極限，右極限，和預設求極限

計算導數

命令：diff(f,n)
f ： 需要求的原函式 ，必須將變數宣告為 syms
n : 要求的幾階導

解常微分方程的解析解

命令一般形式：dsolve(f1,f2,…fn,‘cond1’,‘cond2’,…‘condn’)
fn ： 一個字串， 內容是方程的表示式 ，
f1到fn 表示求解方程組
condn ： 字串，內容是初始條件的表示式

例：

dsolve(‘Dy = y*t/(t-5)’,‘y(0)=2’);
二階導用 D2表示

注意 預設地，dsolve 使用 t 作為獨立變數。我們可以告訴它使用其它變數——在命令列的 末尾附帶上我們要使用的獨立變數

解常微分方程的數值解

這個需要說明解析解和數值解的區別：
解析解意思是解可以用表示式具體的寫出來，而數值解是隻能得到點對，無法得到解析式，因為不是所有的常微分方程都有解析解，大部分只能得到數值解

解數值解用到的命令是
ode23()和ode45()兩種
這兩個函式都使用（龍格-庫塔）法來數值解，區別是ode45比ode23階數更高，對應的ode45的精度也比ode23高
兩個函式的呼叫方式完全相同
[t,y] = ode23(‘func_name’, [start_time, end_time], y(0))
func_name 是在單獨的.m檔案中定義的方程函式
[start_time, end_time] 是求解區間
y(0)是初值

如果要求解二階的常微分方程，需要將二階方程通過換元轉換為一階方程組

% 例如 求方程 y'' + 16y = sin(4.3t)當 y(0) = y'(0) = 0 時的解。
% 換元：令x1 = y;
% x2 = y';
% 定義微分方程函式
	%建立陣列儲存資料
	xdot = zerot(2,1);
	% 列方程組
	xdot(2) = sin(4.3*t)-16*x(1);
	xdot(1) = x(2);
	% 呼叫函式
	[t,x] = ode23('fun',[0 2*PI],[0,0]); 
	% x(:,1) 是 y 的解
	% x(:,2) 是 y' 的解
	plot(t,x(:,1)); % 畫出數值解的影象
 

求積分

一般形式的命令：
int(f,v)
f 需要求積分的表示式，可以是字串，也可以是變量表達式
v（可選） 是指定的變數，如果表示式中有多個變元，沒有指定時會預設其中的一個符號為變數
注意matlab給出的積分省略了常數部分，在寫結果時需要加上

求定積分

一般形式的命令：
int(f,v,end,start)
f : 同求積分
v: 同求積分
end 定積分的上界
start 定積分的下界
注意這裡的上下界的順序

求多重積分

int()命令可以進行巢狀，即在單重積分的基礎上巢狀int命令就可以求多重積分

求數值積分

數值積分是指已知了數值，但是沒有關係式
使用命令： trapz(x,y)

例：計算
x = linspace(0,2,10); % 將區間[0,2]分成10等份
f = x.^2;
trapz(x,f); % 就得到了積分結果
% 相對於int()求定積分存在一定的誤差

求正交積分

使用命令quad()和quadl()都可以,使用方法同int()

美化表示式的顯示

命令：pretty(f) 可以將表示式展示成日常手寫的形式，方便觀察
f: 需要美化的表示式

設定多個圖的屬性

設定屬性的命令是 set(h,key,value)
h 是一個指標，指向圖的例項
那麼如何獲得圖的物件呢？
就需要使用 get(gca,'children')命令了
返回的是一個數組，元素是每一個圖物件，這樣就可以指定每一個圖的屬性了，比如顏色，線條等