一、一維傅立葉變換及其反變換

單變數離散函式f(x)（其中x=0,1,2,....,M-1）的傅立葉變換F(u)定義為等式：

同樣給出F(u)，能用逆DFT來獲得原函式：

從尤拉公式中得到：

得出：

一個恰當的比喻是將傅立葉變換比做一個玻璃稜鏡。稜鏡是可以將光分成不同顏色成分的物理儀器，每個成分的顏色由波長(或頻率)決定。傅立葉變換可看做“數學的稜鏡”，將函式基於頻率分成不同的成分。當我們考慮光時，討論它的光譜或頻率譜線。同樣，傅立葉變換使我們能夠通過頻率成分來分析一個函式。這是屬於線型濾波核心的重要概念。

  而在複數的分析下，我們發現有時在極座標下表示F(u)很方便：

上式稱為傅立葉變換的幅度或頻率譜，同時

上式稱為變換的相角或相位譜。

這裡還有個概念叫做功率譜：

二、二維傅立葉變換

  這裡主要說下二維傅立葉影象處理的步驟：

  （1）分別定義兩個單通道浮點型影象，表示實部和虛部，對實部賦值，虛部置0,

  （2）合併上面定義的兩個單通道影象，並做二維傅立葉變換

  （3）對二維傅立葉變換處理後的影象拆分成兩個單通道浮點型影象，表示處理後的實部與虛部

  （4）求頻譜的傅立葉譜值，首先進行對數變換，以將窄帶低灰度輸入影象對映到寬頻高灰度輸出影象上

（5）然後對影象進行中心化處理

  （6）對影象進行歸一化處理-->8u(0-255)，通過公式：255*(Xk-Xmin)/(Xmax-Xmin)

  （7）對影象做帶收縮的逆傅立葉變換

  （8）同（6）歸一化處理得到原圖

#include "dipHeader.h"

void fft2(IplImage* timg,IplImage* fimg)
{
	IplImage* img_re;
	IplImage* img_im;
	IplImage* fourier;

	img_re = cvCreateImage(cvGetSize(timg),IPL_DEPTH_64F,1);  //實部
	img_im = cvCreateImage(cvGetSize(timg),IPL_DEPTH_64F,1);  //虛部

	fourier = cvCreateImage(cvGetSize(timg),IPL_DEPTH_64F,2); 

	cvConvertScale(timg, img_re);
	cvZero(img_im); 
	cvMerge(img_re,img_im,0,0,fourier);

	cvDFT(fourier,fimg,CV_DXT_FORWARD);
	cvReleaseImage(&img_im);
	cvReleaseImage(&img_re);
	cvReleaseImage(&fourier);
	
}
//分別對換I III和II IV象限
void fft2shift(IplImage*fimg, IplImage* shiftimg)
{
	IplImage* img_re;
	IplImage* img_im;
	IplImage* fourier;
	
	img_re = cvCreateImage(cvGetSize(fimg),IPL_DEPTH_64F,1);  //實部
	img_im = cvCreateImage(cvGetSize(fimg),IPL_DEPTH_64F,1);  //虛部

	cvSplit(fimg,img_re,img_im,0,0);

	//compute the Fourier magtitude
	cvPow(img_re,img_re,2.0);
	cvPow(img_im,img_im,2.0);
	cvAdd(img_re,img_im,img_re);
	cvPow(img_re,img_re,0.5);

	//對數變換以加寬窄帶低灰度輸入影象
	cvAddS(img_re,cvScalar(1.0),img_re);
	cvLog(img_re,img_re);

	int row,col,colwidth;
	row = fimg->height;
	col = fimg->width;

	int xCenter, yCenter;
	xCenter = col/2;
	yCenter = row/2;
	double tmp13,tmp24;

	for (int x=0;x<xCenter;x++)
	{
		for(int y=0;y<yCenter;y++)
		{
			tmp13= CV_IMAGE_ELEM(img_re,double, x, y);
			CV_IMAGE_ELEM(img_re,double,x,y) = CV_IMAGE_ELEM(img_re,double,x+xCenter,y+yCenter);
			CV_IMAGE_ELEM(img_re,double,x+xCenter,y+yCenter)= tmp13;

			tmp24= CV_IMAGE_ELEM(img_re,double,x,y+yCenter);
			CV_IMAGE_ELEM(img_re,double,x,y+yCenter)=CV_IMAGE_ELEM(img_re,double,x+xCenter,y);
			CV_IMAGE_ELEM(img_re,double,x+xCenter,y)=tmp24;
		}
	}
	//歸一化為 8u 
	double minVal,maxVal;
	double scale,shift;
	cvMinMaxLoc(img_re,&minVal, &maxVal);
	scale = 255/(maxVal-minVal);
	shift = -minVal*scale;
	cvConvertScale(img_re,shiftimg,scale,shift);
	cvReleaseImage(&img_re);
	cvReleaseImage(&img_im);

}

void main()
{
	IplImage *src;
    IplImage *Fourier;   //傅立葉係數   
    IplImage *dst ;  
    IplImage *ImageRe;  
    IplImage *ImageIm;  
    IplImage *Image;  
    IplImage *ImageDst;  
    double m,M;  
    double scale;  
    double shift;  
	IplImage* workImg = cvLoadImage("fft.tif",0);  
    //src = workImg;   
    //if(workImg->nChannels==3)  
	//  OnColorToGray();  
    src=cvCreateImage(cvGetSize(workImg),IPL_DEPTH_64F,workImg->nChannels);  //源影象   
    //cvCloneImage(workImg,&src);  
	src = cvCloneImage(workImg);
    cvFlip(src);  
	
    Fourier = cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,2);  
    dst = cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,2);  
    ImageRe = cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,1);  
    ImageIm = cvCreateImage(cvGetSize(src),IPL_DEPTH_64F,1);  
    Image = cvCreateImage(cvGetSize(src),src->depth,src->nChannels);  
    ImageDst = cvCreateImage(cvGetSize(src),src->depth,src->nChannels);  
    fft2(src,Fourier);                  //傅立葉變換   
    fft2shift(Fourier, Image);          //中心化   
    cvDFT(Fourier,dst,CV_DXT_INV_SCALE);//實現傅立葉逆變換，並對結果進行縮放   
    cvSplit(dst,ImageRe,ImageIm,0,0);  
	
    cvNamedWindow("源影象",0);  
    cvShowImage("源影象",src);               
    //對陣列每個元素平方並存儲在第二個引數中   
    cvPow(ImageRe,ImageRe,2);                 
    cvPow(ImageIm,ImageIm,2);  
    cvAdd(ImageRe,ImageIm,ImageRe,NULL);  
    cvPow(ImageRe,ImageRe,0.5);  
    cvMinMaxLoc(ImageRe,&m,&M,NULL,NULL);  
    scale = 255/(M - m);  
    shift = -m * scale;  
    //將shift加在ImageRe各元素按比例縮放的結果上，儲存為ImageDst   
    cvConvertScale(ImageRe,ImageDst,scale,shift);  
	
    cvNamedWindow("傅立葉譜",0);  
    cvShowImage("傅立葉譜",Image);  
    cvNamedWindow("傅立葉逆變換",0);  
    cvShowImage("傅立葉逆變換",ImageDst);  
    //釋放影象   
    cvWaitKey(0);  
    cvReleaseImage(&src);  
    cvReleaseImage(&Image);  
    cvReleaseImage(&ImageIm);  
    cvReleaseImage(&ImageRe);  
    cvReleaseImage(&Fourier);  
    cvReleaseImage(&dst);  
    cvReleaseImage(&ImageDst);  
}