時間序列的定義

所謂時間序列就是按照時間的順序記錄的一列有序資料。對時間序列進行觀察、研究、找尋他發展變化的規律，預測他將來的走勢就是時間序列分析，時間序列分析方法只適用於近期與短期的預測。

相關特徵統計量：

1. 均值函式序列：反映的是時間序列每時每刻的平均水平

2. 方差函式序列：反映的是時間序列圍繞其均值做隨機波動時平均的波動程度

3. 協方差函式和相關係數度量的是兩個不同的事件彼此之間的相互影響程式。而自協方差函式和自相關係數（ACF）度量的是同一事件在不同時期之間的相關程度，形象地講就是度量自己過去的行為對自己現在的影響

4. 偏自相關係數：在剔除了中間k−1$k-1$個隨機變數的干擾後，Xt−k對$X_t$

   −k對Xt$X_t$影響的相關變數。

時間序列常用模型：

• 長期趨勢：是時間序列在長時期內呈現出來的持續向上或持續向下的變動。
• 季節變動：是時間序列在一年內重複出現的週期性波動。
• 迴圈波動：是時間序列呈現出得非固定長度的週期性變動。迴圈波動的週期可能會持續一段時間，但與趨勢不同，它不是朝著單一方向的持續變動，而是漲落相同的交替波動。
• 不規則波動：是時間序列中除去趨勢、季節變動和週期波動之後的隨機波動。不規則波動通常總是夾雜在時間序列中，致使時間序列產生一種波浪形或震盪式的變動。只含有隨機波動的序列也稱為平穩序列

時間序列分析方法

1、移動平均法

缺點：預測值總是停留在過去的水平上而無法預計會導致將來更高或更低的波動

N越大，修勻的程度也越大，起伏也越小，有利於消除不規則變動的影響，但同時週期變動難於反映出來。一般N值的取值範圍：5<=N<=200。當歷史序列的基本變化不大且序列中隨機變動成分較多時，N的取值應該大一些，否則N的取值應該小一些。選擇N值的一個有效方法是，比較若干模型的預測誤差，預測誤差最小者為好。

一次移動平均法

• 使用最近N期序列值的平均值作為未來各期的預測結果，每期資料求平均時的作用是一樣的

• 適用範圍：適用於發展趨勢變化不大的情況

計算公式為：

預測標準誤差為：

加權移動平均法

• 考慮各期資料的重要性，對近期資料給予較大的權重。

• 需要計算總的平均相對誤差，修正預測值

• 適用範圍：適用於發展趨勢變化不大的情況

計算公式為：

二次移動平均法

• 利用移動平均的滯後偏差的規律來建立直線趨勢的預測模型，是一種既能反映趨勢變化，又可以有效分離出週期變化的方法。

• 適用範圍：適用於具有線性趨勢的情況

計算公式為：

2、指數平滑法

指數平滑法實際上是一種特殊的加權移動平均法。預測值是以前觀測值的加權和，且對不同的資料給予不同的權，新資料給較大的權，舊資料給較小的權。

缺點：難以確定指數平滑係數，受主觀影響較大

一次指數平滑法

• 適用範圍：適用於發展趨勢變化不大的情況

計算公式為：

即：最新預測值=前一期預測值+前期預測值產生的誤差的修正值。

平滑係數的確定：

• 平滑係數a起到一個調節器的作用。a值選取得越大，預測值受近期影響越大；a值選取得越小，預測值受遠期影響越大。
• 如果時間序列波動不大，比較平穩，則a應取小一點（如0.1~0.5），以減少修正幅度，使預測模型能包含較長時間序列的資訊
• 如果時間序列具有迅速且明顯的變動傾向，則a應取大一點，如（0.6~0.8）

初始值的確定：

• 當時間序列的資料較多時，取第一期的實際值為初值
• 當時間序列的資料較少時，取最初幾期的平均值為初值

二次指數平滑法

• 適用範圍：適用於具有線性趨勢的情況

計算公式為：

平穩時間序列

一個時間序列，如果均值沒有系統的變化（無趨勢）、方差沒有系統變化，且嚴格消除了週期性變化，就稱之是平穩的。

根據限制條件的嚴格程度，平穩時間序列可以分為以下兩種型別

• 嚴平穩時間序列：只有當序列的所有統計特徵都不會隨時間而變化時才能被稱為嚴平穩。是對序列聯合分佈的要求，以保證序列所有的統計特徵都相同

• 寬平穩時間序列：只要求序列二階平穩，對於高於二階的維度沒有任何要求

平穩時間序列有以下兩個統計性質

• 常數均值

• 自協方差函式和自相關函式只依賴於時間的平移長度而與時間的起止點無關

時間序列的預處理

對序列進行純隨機值和平穩性的檢驗

1、平穩性的檢驗

對序列的平穩性有兩種檢驗方法，一種是根據時序圖和自相關圖顯示的特徵做出判斷的圖檢驗方法；一種是構造檢驗統計量進行假設檢驗的方法。圖檢驗方法操作簡便，但其主觀性較強，最好能用假設檢驗的方法進行輔助判斷。

時序圖檢驗

• 根據平穩時間序列方差和均值為常數的特點，平穩序列的時序圖應該顯示出該序列始終在一個常數值附近隨機波動，並且波動的範圍由界的特點。

• 如果觀察序列的時序圖顯示出該序列有明顯的趨勢性或週期性，那它通常不是平穩序列。

如圖所示，銷量有明顯的上升趨勢，所以它一定不是平穩序列。

自相關圖檢驗

• 自相關圖的一個座標軸表示延遲時間數，另一個座標軸表示自相關係數

• 平穩序列通常具有短期自相關性：隨著延遲期數的增加，平穩序列的自相關性會很快衰減到0。反之，非平穩序列的自相關係數衰減向0的速度會比較慢。

三角對稱性：具有單調趨勢的非平穩序列

長期位於零軸的一邊：具有單調趨勢的非平穩序列

正弦波動規律：具有周期變化規律的非平穩序列

在零軸附近波動：隨機性強的平穩時間序列（很快衰減到0）

單位根檢驗

如果該統計量的P值小於a時，則可以以1-a的置信水平拒絕原假設，認為該序列為平穩序列；否則，接受原假設，認為該序列為非平穩序列。假設a為0.05，此時p值顯著大於0.05，則該序列為非平穩序列。

2、純隨機性的檢驗

純隨機序列又稱為白噪聲序列。如果序列值之間沒有任何的相關性，這種序列我們稱為白噪聲序列。白噪聲序列沒有任何分析的價值

• 非平穩序列一定不是白噪聲序列
• 平穩序列如果顯示出顯著的短期相關性，那麼該序列一定不是白噪聲序列，否則要對其進行純隨機性檢驗。

如果該統計量的P值小於a時，則可以以1-a的置信水平拒絕原假設，認為該序列為非白噪聲序列；否則，接受原假設，認為該序列為純隨機序列。假設a為0.05，此時p值顯著小於0.05，則該序列為非白噪聲序列。

平穩時間序列分析

某個時間序列經過預處理，被判定為平穩非白噪聲序列，就可以利用ARMA模型進行建模

建模步驟：

非平穩時間序列分析

ARIMA模型的實質就是差分運算與ARMA模型的組合。

差分運算：

建模步驟：