在我們的現實生活中，許多複雜系統都可以建模成一種複雜網路進行分析，比如常見的電力網路、航空網路、交通網路、計算機網路以及社交網路等等。複雜網路不僅是一種資料的表現形式，它同樣也是一種科學研究的手段。複雜網路方面的研究目前受到了廣泛的關注和研究，尤其是隨著各種線上社交平臺的蓬勃發展，各領域對於線上社交網路的研究也越來越火。研究生期間，本人的研究方向也是一直與複雜網路打交道，現在馬上就要畢業了，寫一篇博文簡單介紹一下複雜網路特點以及一些有關複雜網路研究內容的介紹，希望感興趣的博友可以一起討論，一起學習。

　　下圖分別是一個航空網路（上圖）和Facebook網路全球友誼圖（下圖）。

1. 複雜網路的特點

　　錢學森對於複雜網路給出了一種嚴格的定義：具有自組織、自相似、吸引子、小世界、無標度中部分或全部性質的網路稱之為複雜網路。言外之意，複雜網路就是指一種呈現高度複雜性的網路，其特點主要具體體現在如下幾個方面：

　　1.1 小世界特性

　　小世界特性（Small world theory）又被稱之為是六度空間理論或者是六度分割理論（Six degrees of separation）。小世界特性指出：社交網路中的任何一個成員和任何一個陌生人之間所間隔的人不會超過六個，如下圖所示：

　　1.2 無標度特性

　　現實世界的網路大部分都不是隨機網路，少數的節點往往擁有大量的連線，而大部分節點卻很少，節點的度數分佈符合冪率分佈，而這就被稱為是網路的無標度特性（Scale-free）。將度分佈符合冪律分佈的複雜網路稱為無標度網路。

　　下圖為一個具有10萬個節點的BA無標度網路的度數分佈示意圖：

　　無標度特性反映了複雜網路具有嚴重的異質性，其各節點之間的連線狀況（度數）具有嚴重的不均勻分佈性：網路中少數稱之為Hub點的節點擁有極其多的連線，而大多數節點只有很少量的連線。少數Hub點對無標度網路的執行起著主導的作用。從廣義上說，無標度網路的無標度性是描述大量複雜系統整體上嚴重不均勻分佈的一種內在性質。

　　其實複雜網路的無標度特性與網路的魯棒性分析具有密切的關係。無標度網路中冪律分佈特性的存在極大地提高了高度數節點存在的可能性，因此，無標度網路同時顯現出針對隨機故障的魯棒性和針對蓄意攻擊的脆弱性。這種魯棒且脆弱性對網路容錯和抗攻擊能力有很大影響。研究表明，無標度網路具有很強的容錯性，但是對基於節點度值的選擇性攻擊而言，其抗攻擊能力相當差，高度數節點的存在極大地削弱了網路的魯棒性，一個惡意攻擊者只需選擇攻擊網路很少的一部分高度數節點，就能使網路迅速癱瘓。

　　1.3 社群結構特性

　　人以類聚，物以群分。複雜網路中的節點往往也呈現出叢集特性。例如，社會網路中總是存在熟人圈或朋友圈，其中每個成員都認識其他成員。叢集程度的意義是網路集團化的程度；這是一種網路的內聚傾向。連通集團概念反映的是一個大網路中各集聚的小網路分佈和相互聯絡的狀況。例如，它可以反映這個朋友圈與另一個朋友圈的相互關係。

　　下圖為網路聚集現象的一種描述：

2. 社群檢測

　　社群檢測（community detection）又被稱為是社群發現，它是用來揭示網路聚集行為的一種技術。社群檢測實際就是一種網路聚類的方法，這裡的“社群”在文獻中並沒有一種嚴格的定義，我們可以將其理解為一類具有相同特性的節點的集合。近年來，社群檢測得到了快速的發展，這主要是由於複雜網路領域中的大牛Newman提出了一種模組度（modularity）的概念，從而使得網路社區劃分的優劣可以有一個明確的評價指標來衡量。一個網路不通情況下的社區劃分對應不同的模組度，模組度越大，對應的社區劃分也就越合理；如果模組度越小，則對應的網路社區劃分也就越模糊。

　　下圖描述了網路中的社群結構：

　　Newman提出的模組度計算公式如下:

$Q=1/(2m) \sum_{ij}(A_{ij}-k_{i}k_{j}/(2m)) \delta(C_{i},C_{j})$

其中$m$為網路中總的邊數，$A$是網路對應的鄰接矩陣，$A_{ij}=1$代表節點$i$和節點$j$之間存在連邊，否則不存在連邊。$k_{i}$為節點$i$的度數，$C_{i}$為節點$i$屬於某個社群的標號，而$\delta(C_{i},C_{j})=1$當且僅當$C_{i}=C_{j}$。

　　上述的模組度定義其實很好理解，我們可以根據一個網路的空模型去進行理解。網路的空模型可以理解為只有節點的而沒有連邊，這時候一個節點可以和圖中的任意其他節點相連，並且節點$i$和$j$相連的概率可以通過計算得到。隨機選擇一個節點與節點$i$相連的概率為$k_{j}/2m$，隨機選擇一個節點與節點$j$相連的概率為$k_{j}/2m$，那麼節點$i$和節點$j$相連的概率為$p_{i}p_{j}=k_{i}k_{j}/(4m^{2})$，邊數的期望值$P_{ij}=2mp_{i}p_{j}=k_{i}k_{j}/(2m)$。所以模組度其實就是指一個網路在某種社區劃分下與隨機網路的差異，因為隨機網路並不具有社群結構，對應的差異越大說明該社區劃分越好。

　　Newman提出的模組度具有兩方面的意義：

　　（1）模組度的提出成為了社群檢測評價一種常用指標，它是度量網路社區劃分優劣的量化指標；

　　（2）模組度的提出極大地促進了各種優化演算法應用於社群檢測領域的發展。在模組度的基礎之上，許多優化演算法以模組度為優化的目標方程進行優化，從而使得目標函式達到最大時得到不錯的社區劃分結果。

　　當然，模組度的概念不是絕對合理的，它也有弊端，比如解析度限制問題等，後期國內學者在模組度的基礎上提出了模組度密度的概念，可以很好的解決模組度的弊端，這裡就不詳細介紹了。

　　常用的社群檢測方法主要有如下幾種：

　　（1）基於圖分割的方法，如Kernighan-Lin演算法，譜平分法等；

　　（2）基於層次聚類的方法，如GN演算法、Newman快速演算法等；

　　（3）基於模組度優化的方法，如貪婪演算法、模擬退火演算法、Memetic演算法、PSO演算法、進化多目標優化演算法等。

3. 結構平衡

　　結構平衡（Structural Balance）主要是針對社交網路的研究而被提出的，它最早源於社會心理學家Heider提出的一個結構平衡理論。

3.1 網路平衡的發展

　　網路平衡有時也稱社會平衡（Social Balance），就網路平衡的發展來說，我們可以將其分為三個發展階段。
　　3.1.1 網路平衡理論的提出
　　“網路平衡”一詞最早是由Heider基於對社會心理學的研究而提出的，Heider在1946年的文章Attitudes and cognitive organization[1]中針對網路平衡的概念提出了最早的平衡理論：
　　（1）朋友的朋友是朋友；
　　（2）朋友的敵人是敵人；
　　（3）敵人的朋友是敵人；
　　（4）敵人的敵人是朋友。
　　用常見的三元組合來表示上述的Heider理論如下：

　　上述的平衡理論是有關網路平衡提出的最早的理論，它後來也被稱為是強平衡理論。

　　1956年，Cartwright和Harary對Heider的平衡理論進行了推廣，並將其用在了圖理論中（STRUCTURAL BALANCE: A GENERALIZATION OF HEIDER'S THEORY[2]）。Cartwright和Harary指出對於一個符號網路而言，網路平衡的充要條件是網路中的所有三元組都是平衡的，該結論也可以陳述為一個符號網路平衡的充要條件是它所包含的所有迴路（cycles）都是平衡的（“-”號的個數為整數個）。而且，在這篇文章中，他們還提出了著名的結構平衡理論：如果一個符號網路是平衡的，那麼這個網路就可以分為兩部分子網路，其中每個子網路內部中節點的連線都是正連線，網路之間的連線均為負連線。

　　在這各階段網路平衡的發展的重心主要在於構建網路平衡的心理學和社會學模型。

　　3.1.2 網路平衡的數學模型

　　在有了Heider等人的奠基工作後，有關網路平衡的發展主要是構建其數學模型，比如網路的動態表現，一個網路連線如何隨時間的變化而變化，網路中節點之間的朋友或者敵人的關係如何演化等等。

　　3.1.3 網路平衡的應用

　　最新關於網路平衡方面的研究大都是研究一些線上網路，比如對某個網站使用者屬性的分析等等。而且，目前我們身處大資料時代，我們所要研究的網路規模也變為了大型甚至可以說是超大型網路，這這個背景下，如何計算一個網路是否平衡便成為該領域的主要熱點問題。

　　3.2 網路平衡的基本理論

　　(1) Heider理論（強平衡理論SBT）。

　　(2) 結構平衡理論（Structural Balance Theroem）：在完全符號網路中，網路平衡的充要條件是其所有的三元組（迴路）都平衡。

　　結構平衡的推論：一個完全符號網路平衡的充要條件是它可以被分為兩部分X和Y，X和Y內部的節點連線均為正連線，X和Y之間的連線均為負連線。

　　(3) 弱平衡理論（A weaker form of structural balance，WSBT）：如果完全符號網路中不存在這樣的三元組：兩個邊為正，一邊為負，則該網路稱為是弱平衡網路。

　　對於弱平衡理論而言，上圖的三元組中，三邊均為負連線的三元組也屬於平衡三元組，也就是三元組的四種情況有三種屬於平衡狀態，一個屬於不平衡狀態（兩邊為正，一邊為負）。

　　弱平衡網路推論：如果一個網路為弱平衡理論，那麼它可以分為多個部分，每部分內的連線為正，部分之間的連線為負。

　　(4) 對任意網路平衡的定義.

　　1) 對於一個任意網路而言，如果我們可以將它所缺失的邊填充使它成為一個平衡的完全符號網路，那麼原網路就是平衡網路；
　　2) 對於一個任意網路而言，如果我們可以將它分為兩部分，使得每個部分內的連線均為實線，部分之間的連線均為虛線。
　　以上的兩種定義是等價的。
　　一個符號網路平衡的充要條件是它不包括含有奇數個負連線的迴路。

　　(5) 近似平衡網路（略）。

　　3.3 網路平衡的計算（A spectral algorithm for computing social balance）
　　命題1：節點i參與的三元組數目

　　A為鄰接矩陣，元素取值可能為：1，-1,0；
　　G為鄰接矩陣，元素取值可能為：0,1.
　　命題2：對於節點i而言，bi為其參與的平衡三元組數目，ui為其參與的不平衡三元組數目，則

　　理論1：對於完全符號圖而言，

　　平衡三元組所佔的比例為

　　理論2：對於任意符號網路，平衡三元組所佔的比例為

　　
　　注：以上兩個計算網路平衡的公式中，特徵值可以隨大到小選擇前幾個比較大的，就像PCA那樣，這樣可以使得計算的複雜度大大減小。

4. 影響最大化

　　隨著各種線上社交平臺的發展，社交平臺（比如QQ、微博、朋友圈等）已經不僅僅是一種使用者進行溝通的社交平臺，它們更是社會資訊產生和傳播的一種主要的媒介。影響最大化（Influence Maximization）同結構平衡一樣，也是針對社會網路的研究而被提出的，它來源於經濟學的市場營銷。2001年，影響最大化被Domins首次以一種演算法問題的形式被提出。而影響最大化受到廣泛的關注是在2003年Kempe等人在當年的KDD會議上發表的一篇有關影響最大化的論文之後，隨後各種影響最大化演算法被迅速提出，最近的十幾年裡，影響最大化的相關文章達到了上千篇，可見這個問題還是很值得關注的。

　　影響最大化問題可以這樣來描述：一個商家或者企業利用一種社交平臺（比如為新浪微博）為自己的新產品或者新服務進行推廣，如何在資金有限的情況下僱傭微博達人來做推廣可以使得推廣範圍達到最大？

　　我們再給出影響最大化的一般定義：

　　給定一個網路$G$和一個整數$K$（一般小於50），如何在$G$中找出$K$個節點，使得這$K$的節點組成的節點集合$S$的影響傳播範圍$\sigma(S)$達到最大。

　　根據上述影響最大化的定義我們很容易可以知道，影響最大化本身屬於一種組合優化問題。常用的影響最大化傳播模型有獨立級聯傳播模型（ICM）和線性閾值傳播模型（LTM）。

　　影響最大化方面的主要演算法可以分為如下幾類：

　　（1）基於網路中心性的啟發式方法：比如最大度方法、最短平均距離方法、PageRank方法等；

　　（2）基於子模組性的貪婪方法：比如最經典的Greedy演算法，CELF演算法以及後來的NewGreedy和CELF++等；

　　（3）基於社群結構的方法：比如CGA演算法、CIM演算法等；

　　（4）基於目標函式優化的方法：比如模擬退火演算法等。

5. 網路傳播

 　　網路傳播領域涉及很多方面，比如網路節點重要性排序、網路魯棒性分析、網路資訊爆發閾值優化等。這些領域都很有意思，感興趣的博友可以好好深入研究一下。

6. 補充

　　6.1 網路視覺化工具

　　首先在這裡推薦兩款我常用的網路視覺化工具：Pajek (點選進入官方網站)、Gephi（點選進入官方網站）。

　　下邊為pajek視覺化視窗下的一個網路拓撲結構圖：

　　這是Gephi的一個視覺化效果：

　　6.2 網路資料集

　　常用的一些公開資料集整理：

　　Pajek（視覺化工具）資料集：http://vladowiki.fmf.uni-lj.si/doku.php?id=pajek:data:index；

　　Newman（複雜網路科學領域大牛）個人資料集：http://www-personal.umich.edu/~mejn/netdata/

　　Stanford大學大規模網路資料集：http://snap.stanford.edu/data/

　　復旦大學網路資料集整理：http://gdm.fudan.edu.cn/GDMWiki/Wiki.jsp?page=Network%20DataSet

　　KONECT資料集整理：http://konect.uni-koblenz.de/

7. 參考文獻

　　[8] 任曉龍，呂琳媛. 網路重要節點排序方法綜述. 2014.