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四邊形不等式（dp優化）應用及證明（石子合併n^2）

阿新 • • 發佈：2019-01-13

石子合併是一道很經典的區間動規。

在n^3的暴力裡面，我們的狀態轉移方程是：

f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j])

現在我們有一種很牛逼的優化，可以把石子合併優化到接近O(n^2)

四邊形不等式

我們先來看滿足四邊形不等式的條件：若a<b<=c<d
如果有w[a][c]+w[b][d]<=w[a][d]

+w[b][c]（交叉小於包含）（凸四邊形不等式）
那麼滿足四邊形不等式優化。

定理1：如果w滿足凸四邊形不等式，那麼f也滿足凸四邊形不等式
定理2：如果f滿足凸四邊形不等式，我們定義s[i][j]為f[i][j]在狀態轉移時取得k為最優，那麼s[i][j]=k，此時是s[i][j]滿足決策單調性，也就是s[i][j−1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]

首先我們先跳過定理的證明（假裝我們明白了這些定理的證明咳咳咳），來看看如何通過定理來優化。

既然知道了這個定理，那我們就可以優化掉原本k的那一層迴圈，轉化為優美的O（n^2）啦

程式碼：

    for(int l=3;l<=n;++l)
     for(int i=1;i<=n-l+1;++i)
      {
        int j=i+l-1;
        dp[i][j]=INF;
        for(int k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];++k) 
         if((dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[j]-a[i-1])<dp[i][j])
          s[i][j]=k,dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1
 
][j]+a[j]-a[i-1];
      }

ps：O(n)預處理出s[i][i+1]與dp[i][i+1]

簡單證明

下面我們來證明幾個定理。
假設我們已經證明出了w[a][c]+w[b][d]<=w[a][d]+w[b][c]（a<b<=c<d）
現在我們來推導f函式也滿足四邊形不等式。
假設s[a][d]=s,s[b][c]=t
由於對稱性，我們可以假設s<t（也就是說反過來也可以）
那麼我們可以得到s+1<t+1<c<d
那麼
f[a][c]+f[b][d]<=f[a][s]+f[s+1][c]+w[a][c]+f[b][t]+f[t+1][d]+w[b][d]
<=f[a][s]+f[s+1][c]+f[b][t]+f[t+1][d]+w[a][d]+w[b][c]