快速冪演算法可謂是基礎但極其巧妙而優美並且非常有用的的一類演算法=w=

這裡介紹三種相關應用：1、快速乘法 2、快速冪 3、矩陣快速冪

一、整數運算

(a*b) mod c == ( (a mod c) * (b mod c) ) mod c

對於2進位制，2^n可用1後接n個0來表示、

對於8進位制，可用公式 i+3*j == n （其中 0<= i <=2 ），

對於16進位制，可用 i+4*j==n（0 <= i <=3）來推算，

表達形式為2^i 後接 j 個0。

1、a*b mod p（快速乘法）

當然,一定會有吃瓜群眾黑人問號臉，a*b直接算不接行了，快速乘法個鬼

其實大部分情況下確實是沒必要用快速乘法

But

乘法在計算機中的運算並沒有你想象中的那麼快，也要拆分成加法來做；

更常用的情況就是，在還沒取模的時候，a*b已經爆了int64（long long），這時則顯然要用快速乘法了=。=，（因為在加法中不會超而且可以直接取模=w=）

當然可能大家更熟悉的是快速冪，so ，這裡先介紹快速乘法（就這麼任性=A=）

快速乘法的基本思想 ，是二進位制和乘法分配律的結合，

比如說，

7=(111)₂  ，4*7=4*（111）₂ ，

用分配律展開得 4*7 == 4*（100+10+1）₂，

我們不難觀察出，快速冪可以通過判斷當前的位（bit）是1還是0，推斷出是否需要做求和操作，每次移動到下一位（

(這也可以看作是二分思想的應用)

這種演算法將b進行二分從而減少了不必要的運算=w=

時間複雜度是log（n）

=w=

function quick_power(a,b:int64):longint;//具體型別視題目而定
var
    ans:longint;
begin
   ans:=0;
   while (b<>0) do
   begin
      if (b and 1=1) then ans:=(ans+a) mod p;
      b:=b >>1;
      a:=(a+a) mod p;
   end;
   exit(ans);
end;
 

2、a^b mod p

快速冪其實可以看作是快速乘法的特例

在快速冪中，我們不再對ans進行*2操作，因為b已經從乘數變成了指數(人家已經升級了，而你如果還*2的話就out了=。=），指數的相加意味著底數相乘，

But

二分的思想我們還是仍然繼續可以沿用的，把b轉化為2進位制數

這樣，我們就將原本用迴圈需要O(n)的演算法，改進為O（logN）的演算法。

=w=

var
        a,b,p,s:longint;
begin
    read(a,b,p);
    s:=1;
    while (b<>0) do
    begin
        if b mod 2=1 then s:=s*a mod p;
        b:=b >> 1;
        a:=a*a mod p;
    end;
    writeln(s);
end.

二、矩陣快速冪

由於考試中矩陣快速冪+矩陣乘法已經忘得跟不認識似的導致吃了10個wa而被NM同學吐槽了一番=。=

矩陣的快速冪運算，其實思路和上面的整數快速冪是一樣的，對指數進行二分，只不過剛才的a是整型而現在變成了矩陣而已，所以唯一的區別就是剛剛簡單的 * ，如今要變成矩陣乘法的運算

矩陣快速冪的練習題可以去交一交Codevs的Fibonacci的一系列，用矩陣乘法+快速冪來優化Fibonacci可謂是經典中的模板題，多交幾次沒什麼壞處（我就在今天的考試中給跪了=。=）

=w= 

下面是Codevs 1732 AC程式碼

const
    mo=1000000007;
var
    n                   :int64;
    f1,f2               :array[0..2,0..2] of longint;
    a,c                 :array[0..2] of longint;
procedure mul1;
var
    j,k:longint;
begin
   fillchar(c,sizeof(c),0);
   for j:=1 to 2 do
    for k:=1 to 2 do
      c[j]:=(c[j]+(a[k] mod mo) * (f1[k,j] mod mo) mod mo) mod mo;
   a:=c;
end;

procedure mul2;  
var
    i,j,k:longint;
begin
   fillchar(f2,sizeof(f2),0);
   for i:=1 to 2 do
    for j:=1 to 2 do
     for k:=1 to 2 do
      f2[i,j]:=(f2[i,j] +(f1[i,k] mod mo)*(f1[k,j] mod mo) mod mo) mod mo;
   f1:=f2;
end;

begin
   read(n);
   while not EOF do
   begin
      f1[1,1]:=0;f1[1,2]:=1;f1[2,1]:=1;f1[2,2]:=1;
      a[1]:=1;a[2]:=1;
      dec(n);
      while (n<>0) do //矩陣快速冪
      begin
         if (n mod 2<>0) then mul1;
         n:=n div 2;
         mul2;
      end;
      writeln(a[1]);
      read(n);
   end;
end.

                                            ——by Eirlys

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