弗洛伊德演算法介紹

和Dijkstra演算法一樣，弗洛伊德(Floyd)演算法也是一種用於尋找給定的加權圖中頂點間最短路徑的演算法。該演算法名稱以創始人之一、1978年圖靈獎獲得者、斯坦福大學計算機科學系教授羅伯特·弗洛伊德命名。

基本思想

 通過Floyd計算圖G=(V,E)中各個頂點的最短路徑時，需要引入一個矩陣S，矩陣S中的元素a[i][j]表示頂點i(第i個頂點)到頂點j(第j個頂點)的距離。

 假設圖G中頂點個數為N，則需要對矩陣S進行N次更新。初始時，矩陣S中頂點a[i][j]的距離為頂點i到頂點j的權值；如果i和j不相鄰，則a[i][j]=∞。 接下來開始，對矩陣S進行N次更新。第1次更新時，如果"a[i][j]的距離" > "a[i][0]+a[0][j]"(a[i][0]+a[0][j]表示"i與j之間經過第1個頂點的距離")，則更新a[i][j]為"a[i][0]+a[0][j]"。 同理，第k次更新時，如果"a[i][j]的距離" > "a[i][k]+a[k][j]"，則更新a[i][j]為"a[i][k]+a[k][j]"。更新N次之後，操作完成！

 單純的看上面的理論可能比較難以理解，下面通過例項來對該演算法進行說明。
 

弗洛伊德演算法圖解

以上圖G4為例，來對弗洛伊德進行演算法演示。

初始狀態：S是記錄各個頂點間最短路徑的矩陣。
第1步：初始化S。
矩陣S中頂點a[i][j]的距離為頂點i到頂點j的權值；如果i和j不相鄰，則a[i][j]=∞。實際上，就是將圖的原始矩陣複製到S中。
注:a[i][j]表示矩陣S中頂點i(第i個頂點)到頂點j(第j個頂點)的距離。
第2步：以頂點A(第1個頂點)為中介點，若a[i][j] > a[i][0]+a[0][j]，則設定a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
以頂點a[1]6，上一步操作之後，a[1][6]=∞；而將A作為中介點時，(B,A)=12，(A,G)=14，因此B和G之間的距離可以更新為26。
同理，依次將頂點B,C,D,E,F,G作為中介點，並更新a[i][j]的大小。

弗洛伊德演算法的程式碼說明

以"鄰接矩陣"為例對弗洛伊德演算法進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在後面會給出相應的原始碼。

1. 基本定義

// 鄰接矩陣
typedef struct _graph
{
    char vexs[MAX];       // 頂點集合
    int vexnum;           // 頂點數
    int edgnum;           // 邊數
    int matrix[MAX][MAX]; // 鄰接矩陣
}Graph, *PGraph

Graph是鄰接矩陣對應的結構體。
vexs用於儲存頂點，vexnum是頂點數，edgnum是邊數；matrix則是用於儲存矩陣資訊的二維陣列。例如，matrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即vexs[i])"和"頂點j(即vexs[j])"是鄰接點；matrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。

2. 弗洛伊德演算法

模板1
/*

• floyd最短路徑。
• 即，統計圖中各個頂點間的最短路徑。
• 引數說明：

•    G -- 圖
  

• path -- 路徑。path[i][j]=k表示，"頂點i"到"頂點j"的最短路徑會經過頂點k。
  

• dist -- 長度陣列。即，dist[i][j]=sum表示，"頂點i"到"頂點j"的最短路徑的長度是svoid floyd(Graph G, int path[][MAX], int dist[][MAX])
  

{
int i,j,k;
int tmp;
// 初始化
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
{
dist[i][j] = G.matrix[i][j]; // “頂點i"到"頂點j"的路徑長度為"i到j的權值”。
path[i][j] = j; // "頂點i"到"頂點j"的最短路徑是經過頂點j。
}
}

// 計算最短路徑
for (k = 0; k < G.vexnum; k++)
{
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
        {
            // 如果經過下標為k頂點路徑比原兩點間路徑更短，則更新dist[i][j]和path[i][j]
            tmp = (dist[i][k]==INF || dist[k][j]==INF) ? INF : (dist[i][k] + dist[k][j]);
            if (dist[i][j] > tmp)
            {
                // "i到j最短路徑"對應的值設，為更小的一個(即經過k)
                dist[i][j] = tmp;
                // "i到j最短路徑"對應的路徑，經過k
                path[i][j] = path[i][k];
            }
        }
    }
}

// 列印floyd最短路徑的結果
printf("floyd: \n");
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
    for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
        printf("%2d  ", dist[i][j]);
    printf("\n");
}

模板2：

#include <stdio.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
int map[1000][1000];
int main()
{
    int k,i,j,n,m;
    //讀入n和m，n表示頂點個數，m表示邊的條數
    scanf("%d %d",&n,&m);

    //初始化
    for(i=1; i<=n; i++)
        for(j=1; j<=n; j++)
            if(i==j)
                map[i][j]=0;
            else
                map[i][j]=inf;
    int a,b,c;
    //讀入邊
    for(i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
        map[a][b]=c;//這是一個有向圖
    }

    //Floyd-Warshall演算法核心語句
    for(k=1; k<=n; k++)
        for(i=1; i<=n; i++)
            for(j=1; j<=n; j++)
                if(map[i][j]>map[i][k]+map[k][j] )
                    map[i][j]=map[i][k]+map[k][j];

    //輸出最終的結果,最終二維陣列中存的即使兩點之間的最短距離
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            printf("%10d",map[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}