本題為劍指offer面試題43

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題目：把n個骰子仍在地上，所有骰子朝上一面的點數之和為s，輸入n，打印出s的所有可能的值出現的概率。

解法一：基於遞迴求骰子的點數，時間效率不夠高

現在我們考慮如何統計每一個點數出現的次數。要向求出n個骰子的點數和，可以先把n個骰子分為兩堆：第一堆只有一個，另一個有n-1個。單獨的那一個有可能出現從1到6的點數。我們需要計算從1到6的每一種點數和剩下的n-1個骰子來計算點數和。接下來把剩下的n-1個骰子還是分成兩堆，第一堆只有一個，第二堆有n-2個。我們把上一輪哪個單獨骰子的點數和這一輪單獨骰子的點數相加，再和n-2個骰子來計算點數和。分析到這裡，我們不難發現這是一種遞迴的思路，遞迴結束的條件就是最後只剩下一個骰子。

解法二：基於迴圈求骰子的點數，時間效能好

可以換一個思路來解決這個問題，我們可以考慮用兩個陣列來儲存骰子點數的每一個綜述出現的次數。在一次迴圈中，每一個數組中的第n個數字表示骰子和為n出現的次數。在下一輪迴圈中，我們加上一個新的骰子，此時和為n出現的次數。下一輪中，我們加上一個新的骰子，此時和為n的骰子出現的次數應該等於上一次迴圈中骰子點數和為n-1,n-2,n-3,n-4,n-5,n-6的次數之和，所以我們把另一個數組的第n個數字設為前一個數組對應的第n-1，n-2，n-3，n-4，n-5,n-6 

Java程式碼如下：

package go.jacob.day516;

import java.text.DecimalFormat;

/*
 * 劍指offer面試題43：n個骰子的點數
 */
public class Demo1 {
	public static void main(String[] args) {
		printProbability_1(12);
		printProbability_2(12);
	}

	// 骰子最大點數
	static int g_maxValue = 6;

	/*
	 * 方法一：基於遞迴實現 
	 * 缺點：時間複雜度過高
	 */
	public static void printProbability_1(int number) {
		long start = System.currentTimeMillis();
		if (number < 1)
			return;
		int maxSum = number * g_maxValue;
		// probabilities陣列用來儲存每個sum出現的次數，範圍是從number到maxSum
		int[] probabilities = new int[maxSum - number + 1];
		// 陣列初始化
		for (int i = 0; i < maxSum - number + 1; i++) {
			probabilities[i] = 0;
		}

		probability(number, probabilities);
		double total = Math.pow((double) g_maxValue, (double) number);
		// 打印出從number到maxSum每個數字出現的概率
		DecimalFormat df = new DecimalFormat("0.000");
		System.out.print("遞迴實現：");
		for (int i = 0; i < maxSum - number + 1; i++) {
			System.out.print(df.format(probabilities[i] / total) + " ");
		}
		System.out.println();
		long end = System.currentTimeMillis();
		long result = end - start;
		System.out.println("執行時間：" + result);

	}

	private static void probability(int number, int[] probabilities) {
		for (int i = 1; i <= g_maxValue; i++)
			probability(number, number - 1, i, probabilities);

	}

	// current表示當前處理的是第幾個骰子
	private static void probability(int number, int current, int sum, int[] probabilities) {
		// 當current==0，說明所有的骰子處理結束，遞迴結束
		if (current == 0) {
			probabilities[sum - number]++;
			return;
		}
		for (int i = 1; i <= g_maxValue; i++) {
			probability(number, current - 1, sum + i, probabilities);
		}
	}

	/*
	 * 方法2：迴圈實現 f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+f(n-4)+f(n-5)+f(n-6) 時間複雜度低
	 */
	public static void printProbability_2(int number) {
		long start = System.currentTimeMillis();
		if (number < 1)
			return;
		int maxSum = number * g_maxValue;
		int[][] probabilities = new int[2][maxSum + 1];
		// 通過falg來迴圈利用陣列
		int flag = 0;
		// 初始化第一個骰子
		for (int i = 1; i <= g_maxValue; i++) {
			probabilities[flag][i] = 1;
		}
		// 第二個骰子到第n個骰子
		for (int k = 2; k <= number; k++) {
			flag = 1 - flag;
			// 當骰子數為k，那麼sum的範圍為k到k*g_maxValue
			for (int i = 1; i < k; i++) {
				probabilities[flag][i] = 0;
			}
			//k個骰子的最小和為k，k之前的數設為0；
			for (int i = k; i <= g_maxValue * k; i++) {
				int count = 1;
				//要把f(n)先設為0再進行計算
				probabilities[flag][i] = 0;
				while (i - count > 0 && count <= 6) {
					probabilities[flag][i] += probabilities[1 - flag][i - count];
					count++;
				}
			}
		}
		System.out.print("迴圈實現：");
		double total = Math.pow((double) g_maxValue, (double) number);
		// 打印出從number到maxSum每個數字出現的概率
		DecimalFormat df = new DecimalFormat("0.000");
		for (int i = number; i <= maxSum; i++) {
			System.out.print(df.format(probabilities[flag][i] / total) + " ");
		}
		System.out.println();
		long end = System.currentTimeMillis();
		long result = end - start;
		System.out.println("執行時間：" + result);
	}

}