這是演算法課程上完分之策略後老師留的一道題目：

菲波那契數列如下：1,1,2,3,5,8,13,21,34......其中a[1] = 1, a[2] = 1, a[n]=a[n-1]+a[n-2]（n>=3）。對給定的下標n，求解a[n]%1997的值.

其中測試資料n是整數範圍內。

這個題目，主要是用到很關鍵的一個數學知識，斐波那契數列的求法，可以轉換為矩陣的連乘，矩陣的n此方演算法又可以用分治的演算法。

而且又有理論依據：(n*m)%c=[ (n%c)*(m%c) ]%c  ;   (n+m)%c=[   (n%c)+(m%c)  ]%c ,所以過程中的結果可以隨時取模，而不影響最終的結果

關於斐波那契數列的矩陣連乘求法如下：

我們知道我們若要簡單計算f(n)，有一種方法就是先儲存 
a=f(0),b=f(1)，然後每次設： 
a'=b b'=a+b

並用新的a'和b'來繼續這一運算

如果大家熟悉利用“矩陣”這一工具的話，就知道，如果把a、b寫成一個向量[a,b]，完成上述操作相當於乘以矩陣 
0 1 
1 1 
也就是說，如果我們要求第100個fibonacci數，只需要將矩陣 
[0,1]乘上 
0 1 
1 1 
的一百次方，再取出第一項

因為我們知道，矩陣運算滿足結合律，一次次右乘那個矩陣完全可以用乘上那個矩陣的N次方代替，更進一步，那個矩陣的N次方就是這樣的形式： 
f(n-1) f(n) 
f(n) f(n+1)

而求矩陣的N次方，由於矩陣乘法滿足結合律，所以我們可以用log(N)的演算法求出——這個演算法大家都會麼？ 
一個是二分，一個是基於二進位制的求冪

二分的原理：要求矩陣的N次方A(N)，設i=N/2若N%2==1， 則 A(N)=A(i)*A(i)*A(1)若N%2==0， 則 A(N)=A(i)*A(i)

基於二進位制的原理：將N拆為二進位制數，譬如13=1101那麼 A^13= A^8 * A^4 * A^1 （這裡^表示冪運算）

也就是說，由A^1開始，自乘得到A^2，然後自乘得到A^4，如果N對應位為1，則將這個結果乘到目標上去

這樣的話，將所有乘法改為模乘，就可以得到一個較大Fibonacci數除以M的餘數

若不用遞迴，其實類似

實現程式碼：

#include<iostream>
using namespace std;
// f(n)=f(i)*f(n-i-1)+f(i+1)*f(n-i)int tempA,tempB,tempC,tempD;
void func(int n,int &a,int &b,int &c,int &d){
    if(n==1){
        a=0;
        b=c=d=1;
        return ;
    }
    if(n%2==0){
        func(n/2,a,b,c,d);
        tempA=a*a+b*c;
        tempB=b*(a+d);
        tempC=c*(a+d);
        tempD=c*b+d*d;
        a=tempA%1997;
        b=tempB%1997;
        c=tempC%1997;
        d=tempD%1997;
        return;
    }
    else{
        func(n/2,a,b,c,d);
        tempA=b*(a+d);
        tempB=a*a+b*(a+c+d);
        tempC=c*b+d*d;
        tempD=c*(a+b+d)+d*d;
        a=tempA%1997;
        b=tempB%1997;
        c=tempC%1997;
        d=tempD%1997;
        return;
    }
}
int main(){
    int n;
    while(cin>>n&&n!=0){
        int a,b,c,d;
        if(n<=2){
            cout<<1<<endl;
            continue;
        }
        else n-=2;
        func(n,a,b,c,d);
        cout<<(b+d)%1997<<endl;
    }    
    return 0;
}