序

Problem A. Big Buttons

題意

一個長度為 $n$ 的 01串，該字串有 $m$ 個不能出現的字首，問這樣的字串有多少種？

題解

由於 $n,m$ 的範圍很小，直接建一棵表示字首限制條件的字典樹，然後在上面通過限制條件從可能方案中剪去即可。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=int(1e5)+11;
int n,m,tot;
int to[maxn][2], mark[maxn];
char s[maxn];
long long ans=0;

int get_id(char ch) {return ch=='B';}
void ins(char *s,int len) {
	int cur=0;
	for(int i=1;i<=len;++i) {
		int ch=get_id(s[i]);
		if(!to[cur][ch]) to[cur][ch]=++tot;
		cur=to[cur][ch];
	}
	mark[cur]++;
	return;
}

void init() {
	tot=0;
	for(int i=0;i<maxn;++i) {
		to[i][0]=to[i][1]=0;
		mark[i]=0;
	}
	return;
}

void dfs(int k,int dep) {
	if(mark[k]) {
		ans-=(1ll<<dep);
		return;
	}
	if(to[k][0]) dfs(to[k][0],dep-1);
	if(to[k][1]) dfs(to[k][1],dep-1);
	return;
}

int cas=0;
void work() {
	init();
	scanf("%d%d",&n,&m);
	register int i;
	for(i=1;i<=m;++i) {
		scanf("%s",s+1);
		ins(s,strlen(s+1));
	}
	ans=(1ll<<n);
	dfs(0,n);
	printf("Case #%d: %lld\n",++cas,ans);

	return;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("input1.txt","r",stdin);
	freopen("output1.txt","w",stdout);
#endif
	int T;
	for(scanf("%d",&T);T;T--)
		work();

	return 0;
}
 

Problem B. Mural

題意

有一個由 0~9 的數字組成的數列，第一次可以隨便取一個數字，接下來的每一次只能取一個與已取區間相鄰的數字。且每次取出一個數字後，數列兩端的兩個數之一會隨機地變為不可取。問最壞情況下取出數字的最大和是多少。

題解

首先知道我們一定能取出一個長度為 $(n+1)/2$ 的連續區間；
而且，不管不可取的數字是如何出現在兩端的，對於一個長度為 $(n+1)/2$ 的區間，一定存在一種方法把它取到。
所以 $O(n)$ 找出區間和最大的長度為 $(n+1)/2$ 的連續區間即可。

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=int(5e6)+11;
int n;
char s[maxn];
int sum[maxn];

int cas=0;
void work() {
	scanf("%d%s",&n,s+1);
	register int i;
	for(i=1;i<=n;++i)
		sum[i]=sum[i-1]+s[i]-'0';

	int ans=0, len=(n+1)/2;
	for(i=1;(i+len-1)<=n;++i)
		ans=max(ans,sum[i+len-1]-sum[i-1]);
	printf("Case #%d: %d\n",++cas,ans);

	return;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("input2.txt","r",stdin);
	freopen("output2.txt","w",stdout);
#endif
	int T;
	for(scanf("%d",&T);T;T--)
		work();

	return 0;
}
 

Problem C. Let Me Count The Ways

題意

有 $n$ 對情侶坐一起，其中的 $m$ 對情侶中的兩人不能坐相鄰位置，考慮情侶中的二人是不同的。問有多少種安排座位的方法？

題解

處理出 $g(i)$ ，表示在那 $m$ 對不能坐一起的情侶中，至少有 $i$ 對情侶坐在一起的安排方案數。然後容斥一下出答案。
$g(i)=C_m^i*(2n-i)!*2^i \\ ans=\sum_{i=0}^{m} (-1)^i*g(i)$

程式碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int moder=int(1e9)+7;
inline int add(int a,int b) {return (a+b<moder)?a+b:a+b-moder;}
inline int mul(int a,int b) {return 1ll*a*b%moder;}
inline int les(int a,int b) {return a>=b?a-b:(a+moder-b);}

const int maxn=int(3e5)+11;
int n,m;
int fact[maxn], inv[maxn];

int C(int m,int n) {
	return mul(fact[n],mul(inv[m],inv[n-m]));
}
int fpow(int a,int k) {
	int res=1;
	for(;k;k>>=1,a=mul(a,a)) if(k&1) res=mul(res,a);
	return res;
}
void init() {
	fact[0]=inv[0]=1;
	for(int i=1;i<maxn;++i) fact[i]=mul(fact[i-1],i), inv[i]=fpow(fact[i],moder-2);
	return;
}

int cas=0;
int g[maxn];
void work() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=0;i<=m;++i)
		g[i]=mul(C(i,m),mul(fact[2*n-i],fpow(2,i)));
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=m;++i) {
		if(i&1) ans=les(ans,g[i]);
		else ans=add(ans,g[i]);
	}
	printf("Case #%d: %d\n",++cas,ans);
	return;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("input1.txt","r",stdin);
	freopen("output1.txt","w",stdout);
#endif
	init();
	int T;
	for(scanf("%d",&T);T;T--)
		work();

	return 0;
}