動態搜尋結構

跳躍表（skip list）
樹堆（treap）
紅黑樹（red black tree）
B樹（B tree）

跳躍表

一種簡單、高效的動態搜尋結構，使用了隨機化演算法。
插入刪除操作的期望的執行時間為O(lgn)，並且這種情況有很高的概率（≈1-1/n^α）。

有序的連結串列

搜尋一個排好序的連結串列所用時間為O(n)，因為連結串列不支援隨機訪問。

改進連結串列

使用兩個有序的連結串列，以加快查詢速度。

• Ex（紐約地鐵第七大道線）：

  • 站號（快線和慢線）：
    14、23、34、42、50、59、66、72
    79、86、96、103、110、116、125
  • 結構示意圖：
    
    L2儲存所有的元素，L1儲存某些子集元素，L1和L2中鍵值相同的元素之間有連結。

• 查詢過程：

  • Search(x)：
    在頂層連結串列L1中從左向右遍歷，直到走過頭，後退一個結點，然後向下繼續走下層連結串列L2直到x。

• 關於建立L1：
  最好均勻的選取結點作為L1中的結點。
  =>搜尋時間≈|L1|+|L2|/|L1|（|L2|=n）
  最小化|L1|+n/|L1|：
  當|L1|=n/|L1|能得到最小值，此時|L1|=n^(1/2)，最小值為2·n^(1/2)。
  

• 一般化分析：
  使用2個有序的連結串列，執行時間為O(2·n^(1/2))。
  使用3個有序的連結串列，執行時間為O(3·n^(1/3))。
  使用k個有序的連結串列，執行時間為O(k·n^(1/k))。
  k選取為lgn時，執行時間為O(lgn·n^(1/lgn))=O(lgn·2^(lgn/lgn))=O(2lgn)。
  一共有lgn層，所有相鄰兩層比值的乘積應該等於n，即r^(lgn)=n=>r=2。
  相鄰兩層比值為2。
  

跳躍表

實現插入和刪除，並能儘量好的維護這個結構，使搜尋代價仍為O(lgn)。

• 跳躍表操作：

Insert(x)：
    確定x在底層連結串列中的位置，把x插入到此位置。
    確定是否將該元素提升到上一層：
        拋一枚硬幣，正面就提升到上一層連結串列，並再拋一次硬幣，反面就結束操作。
        注：為保證能從多層連結串列的左上角開始操作，將每一層開始結點值設為負無窮。
高度提升到lgn以上的概率為(1/2)^lgn=1/(2^lgn)=1/n。
演算法對輸入序列無要求，但這個資料結構執行速度快的高概率要求每次隨機拋硬幣。
delete(x)：
    在每一層中找到x，並刪除。
 

• 跳躍表特性：