Description

給定整數N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)為素數的
數對(x,y)有多少對.

Input

一個整數N

Output

如題

Sample Input

Sample Output

HINT

hint

對於樣例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

題意：給一個正整數 N，其中1<=N<=10^7，求使得 gcd(x,y)為質數的 (x,y)對的個數，1<=x,y<=n

分析：莫比烏斯反演，十分的巧妙。

GCD(a,b)的題十分經典。GCD(a,b)=d   (d是素數)，但是思想卻是相同的。

設f(d) = GCD(a,b) = d的種類數 ；

F(n) 為GCD(a,b) = d 的倍數的種類數,GCD(a,b)%d==0;

即 ：F(x) = (N/x)*(N/x);//N中是x的倍數的個數，然後組合

則f(x) = sigma( mu[d/x]*F(d), d|n )

由於d = 1 所以f(1) = sigma( mu[d]*F(p*d) ) = sigma( mu[d]*(N/pd)*(N/pd) );   p為列舉的素數；p*d<N; (優化！否則會超時)

so....

初探莫比烏斯。還有很多不是很懂。跟進中。。。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1e7+10;
typedef long long LL;

//LL F[MAXN],f[MAXN];
LL pri[MAXN],pri_num;
LL mu[MAXN];//莫比烏斯函式值
bool vis[MAXN];

void mobius(int N)  //篩法求莫比烏斯函式
{
    pri_num = 0;//素數個數
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    vis[1] = true;
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i <=N; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            pri[pri_num++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j=0; j<pri_num && i*pri[j]<N ; j++)
        {
            vis[i*pri[j]]=true;//標記非素數
            //eg:i=3,i%2,mu[3*2]=-mu[3]=1;----;i=6,i%5,mu[6*5]=-mu[6]=-1;
            if(i%pri[j])mu[i*pri[j]] = -mu[i];
            else
            {
                mu[i*pri[j]] = 0;
                break;
            }

        }
    }
}

int main()
{
//    freopen("in.txt","r",stdin);
//    freopen("out.txt","w",stdout);
    LL n;
    mobius(10000000);
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        LL ans = (LL)0;
        for(LL i=0; pri[i]<=n; i++)
        {
            for(LL j=1; j<=n/pri[i]; j++)
                ans+=(LL)(mu[j]*((n/pri[i])/j)*((n/pri[i])/j));
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

 

我的程式碼跑了7秒。。。學長的程式碼跑了6秒。。。僅供參考

 /* Language: C++
    Result: Accepted
    Time:6432 ms
    Memory:167288 kb
****************************************************************/
 
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
const int maxn = 1e7+1;
bool s[maxn];
int prime[maxn],len = 0;
int mu[maxn];
int g[maxn];
int sum1[maxn];
void  init()
{
    memset(s,true,sizeof(s));
    mu[1] = 1;
    for(int i=2; i<maxn; i++)
    {
        if(s[i] == true)
        {
            prime[++len]  = i;
            mu[i] = -1;
            g[i] = 1;
        }
        for(int j=1; j<=len && (long long)prime[j]*i<maxn; j++)
        {
            s[i*prime[j]] = false;
            if(i%prime[j]!=0)
            {
                mu[i*prime[j]] = -mu[i];
                g[i*prime[j]] = mu[i] - g[i];
            }
            else
            {
                mu[i*prime[j]] = 0;
                g[i*prime[j]] = mu[i];
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1; i<maxn; i++)
        sum1[i] = sum1[i-1]+g[i];
}
 
int main()
{
    int a;
    init();
    while(scanf("%d",&a)>0)
    {
        LL sum = 0;
        for(int i=1,la = 0 ; i<=a; i = la+1)
        {
            la = a/(a/i);
            sum = sum + (long long)(sum1[la] - sum1[i-1])*(a/i)*(a/i);
        }
        printf("%lld\n",sum);
    }
    return 0;
}

網上有其他的解法。。。還快些（5秒）

/**************************************************************
    Problem: 2818
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:5220 ms
    Memory:128224 kb
****************************************************************/
 
#include<bits/stdc++.h>
#define clr(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define rep(i,l,r) for(int i=l;i<r;i++)
typedef long long ll;
using namespace std;
// 尤拉函式
int read()
{
    char c=getchar();
    int ans=0,f=1;
    while(!isdigit(c)){
        if(c=='-') f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(isdigit(c)){
        ans=ans*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return ans*f;
}
const int maxn=10000009;
bool p[maxn];
ll f[maxn];
int s[maxn],cnt,n;
void getphi()
{
    rep(i,1,n+1) f[i]=i;
    rep(i,2,n+1){
        if(f[i]==i){
            for(int j=i;j<=n;j+=i){
                f[j]=f[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
    rep(i,2,n+1) f[i]+=f[i-1];
}
void getsushu()
{
    clr(p,-1);
    p[1]=0;
    rep(i,2,(n>>1)+1){
        if(p[i]){
            for(int j=i<<1;j<=n;j+=i){
                p[j]=0;
            }
        }
    }
    rep(i,2,n+1){
        if(p[i]){
            s[cnt++]=i;
        }
    }
}
int main()
{    
    n=read();
    getphi();
    getsushu();
    ll ans=0;
    rep(i,0,cnt){
        ans+=f[n/s[i]]*2-1;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

mada...mada...!!!