堆與堆排序（不穩定）

穩定性分析

我們知道堆的結構是節點i的孩子為2 * i和2 * i + 1節點，大頂堆要求父節點大於等於其2個子節點，小頂堆要求父節點小於等於其2個子節點。在一個長為n 的序列，堆排序的過程是從第n / 2開始和其子節點共3個值選擇最大（大頂堆）或者最小（小頂堆），這3個元素之間的選擇當然不會破壞穩定性。但當為n / 2 - 1， n / 2 - 2， ... 1這些個父節點選擇元素時，就會破壞穩定性。有可能第n / 2個父節點交換把後面一個元素交換過去了，而第n / 2 - 1個父節點把後面一個相同的元素沒 有交換，那麼這2個相同的元素之間的穩定性就被破壞了。所以，堆排序不是穩定的排序演算法。
複雜度O(nlogn)

二叉堆

二叉堆的定義

二叉堆是完全二叉樹或者是近似完全二叉樹。

二叉堆滿足二個特性：

• 父結點的鍵值總是大於或等於（小於或等於）任何一個子節點的鍵值。
• 每個結點的左子樹和右子樹都是一個二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

當父結點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值時為最大堆。當父結點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值時為最小堆。下圖展示一個最小堆：

堆的儲存

一般都用陣列來表示堆，i結點的父結點下標就為(i – 1) / 2。它的左右子結點下標分別為2 * i + 1和2 * i + 2。如第0個結點左右子結點下標分別為1和2。

堆的插入與刪除

堆的插入

每次插入都是將新資料放在陣列最後。可以發現從這個新資料的父結點到根結點必然為一個有序的數列，現在的任務是將這個新資料插入到這個有序資料中——這就類似於直接插入排序中將一個數據併入到有序區間中，不難寫出插入一個新資料時堆的調整程式碼：

1. //  新加入i結點  其父結點為(i - 1) / 2
2. void MinHeapFixup(int a[], int i)  
3. {  
4.     int j, temp;  
5.     temp = a[i];  
6.     j = (i - 1) / 2;      //父結點
7.     while (j >= 0 && i != 0)  
8.     {  
9.         if (a[j] <= temp)  
10.             break;  
11.         a[i] = a[j];     //把較大的子結點往下移動,替換它的子結點
12.         i = j;  
13.         j = (i - 1) / 2;  
14.     }  
15.     a[i] = temp;  
16. }  

優化之：

1. void MinHeapFixup(int a[], int i)  
2. {  
3.     for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)  
4.         Swap(a[i], a[j]);  
5. }  

插入時：

1. //在最小堆中加入新的資料nNum
2. void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)  
3. {  
4.     a[n] = nNum;  
5.     MinHeapFixup(a, n);  
6. }  

堆的刪除

按定義，堆中每次都只能刪除第0個數據。為了便於重建堆，實際的操作是將最後一個數據的值賦給根結點，然後再從根結點開始進行一次從上向下的調整。調整時先在左右兒子結點中找最小的，如果父結點比這個最小的子結點還小說明不需要調整了，反之將父結點和它交換後再考慮後面的結點。相當於從根結點將一個數據的“下沉”過程。下面給出程式碼：

1. //  從i節點開始調整,n為節點總數 從0開始計算 i節點的子節點為 2*i+1, 2*i+2
2. void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)  
3. {  
4.     int j, temp;  
5.     temp = a[i];  
6.     j = 2 * i + 1;  
7.     while (j < n)  
8.     {  
9.         if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的
10.             j++;  
11.         if (a[j] >= temp)  
12.             break;  
13.         a[i] = a[j];     //把較小的子結點往上移動,替換它的父結點
14.         i = j;  
15.         j = 2 * i + 1;  
16.     }  
17.     a[i] = temp;  
18. }  
19. //在最小堆中刪除數
20. void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)  
21. {  
22.     Swap(a[0], a[n - 1]);  
23.     MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);  
24. }  

堆化陣列

有了堆的插入和刪除後，再考慮下如何對一個數據進行堆化操作。要一個一個的從陣列中取出資料來建立堆吧，不用！先看一個數組，如下圖：

很明顯，對葉子結點來說，可以認為它已經是一個合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分別是一個合法的堆。只要從A[4]=50開始向下調整就可以了。然後再取A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9分別作一次向下調整操作就可以了。下圖展示了這些步驟：

1. //建立最小堆
2. void MakeMinHeap(int a[], int n)  
3. {  
4.     for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)  
5.         MinHeapFixdown(a, i, n);  
6. }  

堆排序

首先可以看到堆建好之後堆中第0個數據是堆中最小的資料。取出這個資料再執行下堆的刪除操作。這樣堆中第0個數據又是堆中最小的資料，重複上述步驟直至堆中只有一個數據時就直接取出這個資料。

由於堆也是用陣列模擬的，故堆化陣列後，第一次將A[0]與A[n - 1]交換，再對A[0…n-2]重新恢復堆。第二次將A[0]與A[n – 2]交換，再對A[0…n - 3]重新恢復堆，重複這樣的操作直到A[0]與A[1]交換。由於每次都是將最小的資料併入到後面的有序區間，故操作完成後整個陣列就有序了。有點類似於直接選擇排序。

1. void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)  
2. {  
3.     for (int i = n - 1; i >= 1; i--)  
4.     {  
5.         Swap(a[i], a[0]);  
6.         MinHeapFixdown(a, 0, i);  
7.     }  
8. }  

注意使用最小堆排序後是遞減陣列，要得到遞增陣列，可以使用最大堆。

由於每次重新恢復堆的時間複雜度為O(logN)，共N - 1次重新恢復堆操作，再加上前面建立堆時N / 2次向下調整，每次調整時間複雜度也為O(logN)。二次操作時間相加還是O(N * logN)。故堆排序的時間複雜度為O(N * logN)。