譜聚類(Spectral Clustering, SC)是一種基於圖論的聚類方法——將帶權無向圖劃分為兩個或兩個以上的最優子圖，使子圖內部儘量相似，而子圖間距離儘量距離較遠，以達到常見的聚類的目的。其中的最優是指最優目標函式不同，可以是割邊最小分割——如圖1的Smallest cut(如後文的Min cut)， 也可以是分割規模差不多且割邊最小的分割——如圖1的Best cut(如後文的Normalized cut)。

圖1 譜聚類無向圖劃分——Smallest cut和Best cut

    這樣，譜聚類能夠識別任意形狀的樣本空間且收斂於全域性最優解，其基本思想是利用樣本資料的相似矩陣

(拉普拉斯矩陣)進行特徵分解後得到的特徵向量進行聚類。

1 理論基礎

    對於如下空間向量item-user matrix：

    如果要將item做聚類，常常想到k-means聚類方法，複雜度為o(tknm)，t為迭代次數，k為類的個數、n為item個數、m為空間向量特徵數：

    1 如果M足夠大呢？

    2 K的選取？

    3 類的假設是凸球形的？

    4 如果item是不同的實體呢？

    5 Kmeans無可避免的區域性最優收斂？

       ……

    這些都使常見的聚類問題變得相當複雜。

1.1 圖的表示

    如果我們計算出item與item之間的相似度，便可以得到一個只有item的相似矩陣，進一步，將item看成了Graph(G)中Vertex(V)，歌曲之間的相似度看成G中的Edge(E)，這樣便得到我們常見的圖的概念。

    對於圖的表示(如圖2)，常用的有：

鄰接矩陣：E，e_ij表示v_i和v_i的邊的權值，E為對稱矩陣，對角線上元素為0，如圖2-2。

Laplacian矩陣：L = D – E， 其中d_i (行或列元素的和)，如圖2-3。

圖2 圖的表示

1.2 特徵值與L矩陣

    先考慮一種最優化影象分割方法，以二分為例，將圖cut為S和T兩部分，等價於如下損失函式cut(S, T)，如公式1所示，即最小(砍掉的邊的加權和)。

    假設二分成兩類，S和T，用q(如公式2所示)表示分類情況，且q滿足公式3的關係，用於類標識。

    那麼：

    其中D為對角矩陣，行或列元素的和，L為拉普拉斯矩陣。

    由：

    有:

1、 L為對稱半正定矩陣，保證所有特徵值都大於等於0；

2、 L矩陣有唯一的0特徵值，其對應的特徵向量為1。

    離散求解q很困難，如果將問題鬆弛化為連續實數值，由瑞利熵的性質知其二將你型的最小值就是L的特徵值們(最小值，第二小值，......，最大值分別對應矩陣L的最小特徵值，第二小特徵值，......，最大特徵值，且極值q相應的特徵向量處取得，請參見瑞利熵(Rayleigh quotient))。

    寫到此，不得不對數學家們致敬，將cut(S,T)，巧妙地轉換成拉普拉斯矩陣特徵值(向量)的問題，將離散的聚類問題，鬆弛為連續的特徵向量，最小的系列特徵向量對應著圖最優的系列劃分方法。剩下的僅是將鬆弛化的問題再離散化，即將特徵向量再劃分開，便可以得到相應的類別，如將圖3中的最小特徵向量，按正負劃分，便得類{A,B,C}和類{D,E,F,G}。在K分類時，常將前K個特徵向量，採用kmeans分類。

    PS：

    1、此處雖再次提到kmeans，但意義已經遠非引入概念時的討論的kmeans了，此處的kmeans，更多的是與ensemble learning相關，在此不述；

    2、k與聚類個數並非要求相同，可從第4節的相關物理意義中意會；

    3、在前k個特徵向量中，第一列值完全相同(迭代演算法計算特徵向量時，值極其相近)，kmeans時可以刪除，同時也可以通過這一列來簡易判斷求解特徵值(向量)方法是否正確，常常問題在於鄰接矩陣不對稱。

圖3 圖的L矩陣的特徵值與特徵向量

2 最優化方法

    在kmeans等其它聚類方法中，很難刻劃類的大小關係，區域性最優解也是無法迴避的漏病。當然這與kmeans的廣泛使用相斥——原理簡單。

2.1 Min cut方法

    如2.2節的計算方法，最優目標函式如下的圖cut方法：

    計算方法，可直接由計算L的最小特徵值(特徵向量)，求解。

2.2 Nomarlized cut方法

    Normarlized cut，目標是同時考慮最小化cut邊和劃分平衡，以免像圖1中的cut出一個單獨的H。衡量子圖大小的標準是：子圖各個端點的Degree之和。

2.3 Ratio Cut 方法

    Ratio cut的目標是同時考慮最小化cut邊和劃分平衡，以免像圖1中的cut出一個單獨的H。

    最優目標函式為：

2.4 Normalized相似變換

    歸一化的L矩陣有：

    因而L^’的最小特徵值與D^-(1/2)E D^-(1/2)的最大特徵值對應。

    而計算的L^’相比計算L要稍具優勢，在具體實用中，常以L^’替代L，但是min cut和ratio cut不可以。

    PS：這也是常常在人們的部落格中，A說譜聚類為求最大K特徵值(向量)，B說譜聚類為求最小K個特徵值(向量的原因)。

3 譜聚類步驟

第一步：資料準備，生成圖的鄰接矩陣；

第二步：歸一化普拉斯矩陣；

第三步：生成最小的k個特徵值和對應的特徵向量；

第四步：將特徵向量kmeans聚類(少量的特徵向量)；

4 譜聚類的物理意義

    譜聚類中的矩陣：

    可見不管是L、L^’都與E聯絡特別大。如果將E看成一個高維向量空間，也能在一定程度上反映item之間的關係。將E直接kmeans聚類，得到的結果也能反映V的聚類特性，而譜聚類的引入L和L^’是使得G的分割具有物理意義。

    而且，如果E的item(即n)足夠大，將難計算出它的kmeans，我們完全可以用PCA降維(仍為top的特徵值與向量)。

    上述對將E當成向量空間矩陣，直觀地看符合我們的認知，但缺乏理論基礎；而L(L^’等)的引入，如第2節所述，使得計算具有理論基礎，其前k個特徵向量，也等價於對L(L^’等)的降維。

    因而聚類就是為圖的劃分找了理論基礎，能達到降維的目的。

其中不少圖出源於Mining of Massive Datasets，對於同仁們的佈道授業，一併感謝。

推薦相關相關文件：Wen-Yen Chen, Yangqiu Song, Hongjie Bai, Chih-Jen Lin, Edward Y. Chang. Parallel Spectral Clustering in Distributed Systems.

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