題目

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

分析

給定兩個有序序列，要求兩個序列綜合後的中位數。關鍵：演算法複雜度T(n)=O(log(m+n))
該問題的關鍵就在於複雜度的限制，有了這個限制，就使得該題目成為一個5星級的難度。

看到題目首先想到合併兩個有序序列，返回其中間數（奇數個元素）或中間兩元素平均值（偶數個元素），但是該演算法是O

真正符合對數級複雜度的演算法是一種通用的求兩有序序列第k小元素的演算法，詳細介紹參考了LeetCode（4）演算法參考在此，表示對該博主的感謝。

演算法思想：
該方法的核心是將原問題轉變成一個尋找第k小數的問題（假設兩個原序列升序排列），這樣中位數實際上是第(m+n)/2小的數。所以只要解決了第k小數的問題，原問題也得以解決。

首先假設陣列A和B的元素個數都大於k/2，我們比較A[k/2-1]和B[k/2-1]兩個元素，這兩個元素分別表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。這兩個元素比較共有三種情況：>、<和=。如果A[k/2-1] < B[k/2-1]，這表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合併之後的前k小的元素中。換句話說，A[k/2-1]不可能大於兩數組合並之後的第k小值，所以我們可以將其拋棄。

證明也很簡單，可以採用反證法。假設A[k/2-1]大於合併之後的第k小值，我們不妨假定其為第（k+1）小值。由於A[k/2-1]小於B[k/2-1]，所以B[k/2-1]至少是第（k+2）小值。但實際上，在A中至多存在k/2-1個元素小於A[k/2-1]，B中也至多存在k/2-1個元素小於A[k/2-1]，所以小於A[k/2-1]的元素個數至多有k/2+ k/2-2，小於k，這與A[k/2-1]是第（k+1）的數矛盾。

當A[k/2-1]>B[k/2-1]時存在類似的結論。

當A[k/2-1]=B[k/2-1]時，我們已經找到了第k小的數，也即這個相等的元素，我們將其記為m。由於在A和B中分別有k/2-1個元素小於m，所以m即是第k小的數。(這裡可能有人會有疑問，如果k為奇數，則m不是中位數。這裡是進行了理想化考慮，在實際程式碼中略有不同，是先求k/2，然後利用k-k/2獲得另一個數。)

通過上面的分析，我們即可以採用遞迴的方式實現尋找第k小的數。此外我們還需要考慮幾個邊界條件：

如果A或者B為空，則直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
如果k為1，我們只需要返回A[0]和B[0]中的較小值；
如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一個；

AC程式碼

//方法一，採用merge的思想，將兩個有序序列合併為一個有序序列，返回其中位數。T(n)=O(n)
class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        //求兩個有序序列的長度
        int len1 = nums1.size(), len2 = nums2.size();

        vector<int> nums(len1 + len2);

        int i = 0, j = 0 , k=0;
        while (i < len1&&j < len2)
        {
            if (nums1[i] <= nums2[j])
            {
                nums[k++] = nums1[i];
                i++;
            }
            else{
                nums[k++] = nums2[j];
                j++;
            }
        }//while

        while (i < len1)
        {
            nums[k++] = nums1[i];
            i++;
        }//while

        while (j < len2)
        {
            nums[k++] = nums2[j];
            j++;
        }//while

        return (double)((len1 + len2) % 2 ? nums[(len1 + len2) / 2] : (nums[(len1 + len2 - 1) / 2] + nums[(len1 + len2) / 2]) / 2.0);
    }
};

//方法2：經典求第k小元素演算法
class Solution
{
public:
    double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n)
    {
        int total = m + n;
        if (total & 0x1)
            return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);
        else
            return (findKth(A, m, B, n, total / 2)
            + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;
    }

    double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)
    {
        //always assume that m is equal or smaller than n
        if (m > n)
            return findKth(b, n, a, m, k);
        if (m == 0)
            return b[k - 1];
        if (k == 1)
            return min(a[0], b[0]);
        //divide k into two parts
        int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;
        if (a[pa - 1] < b[pb - 1])
            return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);
        else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])
            return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);
        else
            return a[pa - 1];
    }
};