Orz yanQval

內容主要來自半年前洛谷的冬令營，因為版權原因課件就不放了。

本來是不想學來著，但是過幾天出去學習要講這個，怕被虐的太慘就先預習一下吧

然而課件裡面的題目基本都是CTSC難度的而且找不到提交地址qwq。

矩陣

\(A_{nm}\)表示一個\(n\)行\(m\)列的矩陣。

一個\(1\)行\(n\)列的矩陣可以被稱為行向量

一個\(n\)行\(1\)列的矩陣可以被稱為列向量

一個\(n\)行\(n\)列的矩陣可以被稱為\(n\)階方陣\(A_n\)

\(A^T\)表示矩陣的轉置，即\(a_{ij}^{T} = a_{ji}\)，相當於把矩陣沿主對角線翻轉

除了主對角線上的元素全部為\(0\)

主對角線以下全部為\(0\)的方陣是上三角矩陣

單位矩陣是主對角線全為\(1\)的對角矩陣，一般用\(I/E\)表示

逆矩陣

矩陣\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)，是滿足\(AA^{-1} = A^{-1}A = I\)的矩陣

求逆矩陣的方法：

將原矩陣的右邊放一個單位矩陣，並對整體進行消元，當左邊被消成單位矩陣時，右側就被消成了逆矩陣。如果中途失敗則說明矩陣不可逆

其實還好理解，消元過程中使用的矩陣初等行變換實際上是左乘一個矩陣，他們的乘積就是逆矩陣，因此我們需要在右側來構造一個矩陣來收集乘積的結果。

行列式

定義

一個方陣的行列式表示為\(|A|\)

\[|A| = \sum_{p}(-1)^{\sigma(p)} \prod_{i = 1}^n a_{i, p_i}\]

其中\(p\)表示任意一個\(1\)到\(n\)的排列

\(\sigma(p)\)表示\(p\)的逆序對的數量

比如當\(n = 2\)時，

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{12} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \]

解釋一下

當\(p = 1,2\)時，逆序對為\(0\)個，\(p_1 = 1, p_2 = 2\)，因此\((-1)^0 *(a_{1_{p_1}})*(a_{2_{p_2}}) = a_{11} * a_{22}\)

當\(p = 2,1\)時，逆序對為\(1\)

因此\(|A| = a_{11}{22} - a_{12}a_{21}\)

性質

• 一個對角矩陣/上三角矩陣的行列式值是所有對角線上元素的乘積

證明：

大概感性的理解一下吧，考慮行列式的定義中，我們需要列舉\(a_{i{p_i}}\)，那麼當\(i = n\)(也就是最後一行)，我們只有一種取值(\(p_n = n\))不為\(0\)，

當\(i = n - 1\)時，雖然有兩種取值，但是最後一行已經去了一種，因此還是隻有一種取值，以此類推。每一行都只有一種取值

因此答案為對角線元素的乘積

• 交換矩陣的兩行/兩列，行列值取反

證明：

性質：對於一個排列，交換任意兩個元素，排序的奇偶性一定改變

我們交換了兩行/兩列，實際上是交換了\(p_i, p_j\)，因此奇偶性一定改變。

• 將矩陣的一行/一列乘上一個固定的常數\(k\)，行列式值也乘上\(k\)

• 將矩陣的一行加到另外一行上去，行列式值不變，列同理

證明：

想要直接證明比較困難，我們先證幾個性質

1. 存在兩行一樣的矩陣，行列式值為\(0\)

   證明：考慮，如果第\(x\)行和第\(y\)行相同，那麼交換排列中的\(p_x, p_y\)，\(\prod a_{i, p_i}\)不變，而前面的符號相反。所以行列式的每一項都存在一項和它的絕對值相同，符號相反

2. 假設矩陣第\(x\)行，第\(i\)列的元素為\(a_{i}\)，且滿足\(a_i = b_i + c_i\)，那麼我們一定可以構造兩個矩陣\(B,C\)，使得\(|A| = |B| + |C|\)

有了這兩個性質，再重新考慮我們需要證明的東西

一個行\(a\)加到另一行\(b\)上面，我們會得到一行\(c = a+b\)

我們可以把\(c\)拆開來看，其中的\(b\)已經出現過，因此它對答案的貢獻為\(0\)

所以行列值的值不變

• 矩陣可逆的充要條件是行列式不為\(0\)

證明：

行列式為\(0\)，說明消元過程中出現了\(a_{i, j} = 0\)

有了這些性質，我們就可以用高斯消元在\(O(n^3)\)的時間複雜度內求出矩陣行列式的值

伴隨矩陣

餘子式：

將方陣的第\(i\)行和第\(j\)行同時劃去，剩餘的一個\(n - 1\)階的矩陣的行列式值稱為元素\(a_{ij}\)的餘子式，通常記為\(M_{ij}\)

代數餘子式：

元素\(a_{ij}\)的代數餘子式為\(C_{ij} = (-1)^{i + j} M_{ij}\)

拉普拉斯展開

對於一個方陣\(A\)，\(A\)的行列式等於某一行所有元素的值乘上他們代數餘子式 的和

即:\(|A| = \sum_{i = 1}^n a_{xi} C_{xi}\)，\(x\)是一個確定的行座標，列同理

伴隨矩陣

矩陣\(A\)的代數餘子式矩陣是有每個元素的代數餘子式構成的矩陣

矩陣\(A\)的伴隨矩陣\(A*\)，是\(A\)的代數餘子式矩陣的轉置，即\(A* = C^T\)

對於可逆矩陣，滿足

\(A* = |A|A^{-1}\)

其他的一些定義

線性空間

線性空間：一個非空集合\(V\)，對加法滿足阿貝爾群，對數乘滿足結合律，分配律，封閉性，域\(F\)上的單位元\(1\)滿足\(1v = v\)

子空間：設\(W\)是\(V\)的一個子集，\(W\)在加法和數乘下都是封閉的，且\(0 \in W\)，則\(W\)是\(V\)的子空間

生成子空間(擴張)：對於若干\(V\)中的元素\(v\)，包含這些\(v\)的最小的子空間
\(W\)是這些元素的生成子空間

生成集合：對於一個\(V\)的子集\(v\)，如果\(v\)的生成子空間是\(V\)，則稱\(v\)是\(V\)的一個生成集合

線性相關

對於一個線性空間的一個子集\(v_1, v_2, \dots , v_k\)，如果\(x_1v1 + x_2v_2 + \dots x_kv_k = 0\)存在非平凡解，則稱這個子集線性相關，否則線性無關。這個條件等價於：任何一個元素都可以被其他元素線性表出

對於向量空間\(V\)的一個線性無關子集\(v\)，如果\(v\)的生成子空間是\(V\)，則稱\(v\)是\(V\)的一組基，\(|v|\)是\(V\)的維度，同時\(v\)也是\(V\)的最小生成集合，同時也是極大線性無關組

對於一個矩陣\(A\)，把它的每一行看做一個行向量，那麼它的極大線性無關組大小稱為\(A\)的行秩，同理也可以定義\(A\)的列秩。顯然，一個矩陣的行秩和列秩是相等的，如果一個矩陣的秩等於它的階，那麼這個矩陣滿秩

同樣，一個矩陣可逆的條件等於矩陣滿秩。

反證法：如果矩陣不滿秩，則消到最後一行時，一定可以被之間的線性表出