問題描述：

    下圖是由14個“+”和14個“-”組成的符號三角形。2個同號下面都是“+”，2個異號下面都是“-”：

    符號三角形第一行有n個符號，符號三角形問題要求對於給定的n，計算有多少個不同的符號三角形，使其所含的“+”和“-”的個數相同。

解題思路：

    1、不斷改變第一行的每個符號，搜尋符合條件的解，可以使用遞歸回溯。

        為了便於運算，設+ 為0，- 為1，這樣可以使用異或運算子表示符號三角形的關係：
            ++為+即0^0=0, --為+即1^1=0, +-為-即0^1=1, -+為-即1^0=1 

    2、因為兩種符號個數相同，可以對題解樹剪枝

        當所有符號總數為奇數時無解，當某種符號超過總數一半時無解

演算法設計：

     在符號三角形的第一行的前i個符號x[1:i]確定後，就確定了一個由i*(i+1)/2個符號組成的符號三角形。

    下一步確定了x[1:i]的值後，只要在前面確定的符號三角形的右邊加一條邊，就可以擴充套件為x[1:i]所對應的符號三角形。

    在回溯法搜尋過程中可用當前符號三角形所包含的“+”號個數與“-”號個數均不超過n*(n-1)/4作為可行性約束，用於剪去不滿足約束條件的子樹。

程式碼：

    需要的資料：

        static int n;//第一行的符號個數
	static int half;//n*(n+1)/4
	static int count;//當前“+”或者“-”的個數
	static int[][] p;//符號三角形矩陣
	static long sum;//已找到的符號三角形的個數
 

    初始化及計算：

public static float Compute(int nn) {
		n = nn;
		count = 0;
		sum = 0;
		half = (n*(n+1))>>1;
		if((half>>1)<<1 != half) {
			return 0;
		}
		half = half>>1;
		p = new int[n+1][n+1];
		backtrack(1);
		
		return sum;
	}

    回溯演算法1（僅用於計算行數或者列數為n的符號三角形的總數，沒有顯示符號三角形的功能，但是是核心程式碼）：

public static void backtrack01(int t) {
		if(count>half || (t*(t-1)>>1 - count)>half) {//對題解樹的剪枝
			return;
		}
		if(t>n) {
			sum++;//符號三角形的總數目+1
		}
		else {
			//每個位置都有兩種情況0,1
			for(int i = 0;i<2;i++) {
				p[1][t] = i;
				count += i;//對"-"個數進行技術，為了進行剪枝操作
				
				//接下來繪製其餘的n-1行
				for(int j = 2;j<=t;j++) {
					//通過異或的方式求其餘行數的放置方式
					p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];
					count += p[j][t-j+1];	
				}
				backtrack01(t+1);
				
				//恢復現場
				for(int j = 2;j<=t;j++) {
					count -= p[j][t-j+1];
				}
				count -= i;
			}
		}
	}

    回溯演算法2（具備列印符號三角形的功能）：

public static void backtrack(int t) {
		if((count>half)||((t*(t-1)>>1-count)>half)) //對題解樹的剪枝
			return;
		if(t>n) {
			sum++;
			//列印符號三角形
			for(int i =1;i<=n;i++) {
				for(int k = 1;k<i;k++) {
					System.out.print(" ");
				}
				for(int j =1;j<=n;j++) {
					if(p[i][j] == 0 && j<=n-i+1) {
						System.out.print("+" + " ");
					}
					else if(p[i][j] == 1 && j<=n-i+1) {
						System.out.print("-" + " ");
					}
					else {
						System.out.print("  ");
					}
				}
				System.out.println();
			}
			System.out.println();
		}
		else {
			//每個位置都有兩種情況0,1
			for(int i =0;i<2;i++) {
				p[1][t] = i;
				count += i;//計算“-”的個數
				
				//接下來繪製其餘的n-1行
				for(int j = 2;j<=t;j++) {
					//通過異或的方式求其餘行數的放置方式
					p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];
					count += p[j][t-j+1];
					
				}
				backtrack(t+1);
				
				//恢復現場
				for(int j =2;j<=t;j++) {
					count -= p[j][t-j+1];
				}
				count -= i;
				
			}
		}
	}

完整程式碼：

package tri;

public class TRAN {

	static int n;//第一行的符號個數
	static int half;//n*(n+1)/4
	static int count;//當前“+”或者“-”的個數
	static int[][] p;//符號三角形矩陣
	static long sum;//已找到的符號三角形的個數
	
	public static float Compute(int nn) {
		n = nn;
		count = 0;
		sum = 0;
		half = (n*(n+1))>>1;
		if((half>>1)<<1 != half) {
			return 0;
		}
		half = half>>1;
		p = new int[n+1][n+1];
		backtrack(1);
		
		return sum;
	}
	
	/**
	 * 演算法1
	 * @param t
	 */
	/*
	public static void backtrack01(int t) {
		if(count>half || (t*(t-1)>>1 - count)>half) {//對題解樹的剪枝
			return;
		}
		if(t>n) {
			sum++;//符號三角形的總數目+1
		}
		else {
			//每個位置都有兩種情況0,1
			for(int i = 0;i<2;i++) {
				p[1][t] = i;
				count += i;//對"-"個數進行技術，為了進行剪枝操作
				
				//接下來繪製其餘的n-1行
				for(int j = 2;j<=t;j++) {
					//通過異或的方式求其餘行數的放置方式
					p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];
					count += p[j][t-j+1];	
				}
				backtrack01(t+1);
				
				//恢復現場
				for(int j = 2;j<=t;j++) {
					count -= p[j][t-j+1];
				}
				count -= i;
			}
		}
	}
	*/
	
	public static void backtrack(int t) {
		if((count>half)||((t*(t-1)>>1-count)>half)) //對題解樹的剪枝
			return;
		if(t>n) {
			sum++;
			//列印符號三角形
			for(int i =1;i<=n;i++) {
				for(int k = 1;k<i;k++) {
					System.out.print(" ");
				}
				for(int j =1;j<=n;j++) {
					if(p[i][j] == 0 && j<=n-i+1) {
						System.out.print("+" + " ");
					}
					else if(p[i][j] == 1 && j<=n-i+1) {
						System.out.print("-" + " ");
					}
					else {
						System.out.print("  ");
					}
				}
				System.out.println();
			}
			System.out.println();
		}
		else {
			//每個位置都有兩種情況0,1
			for(int i =0;i<2;i++) {
				p[1][t] = i;
				count += i;//計算“-”的個數
				
				//接下來繪製其餘的n-1行
				for(int j = 2;j<=t;j++) {
					//通過異或的方式求其餘行數的放置方式
					p[j][t-j+1] = p[j-1][t-j+1]^p[j-1][t-j+2];
					count += p[j][t-j+1];
					
				}
				backtrack(t+1);
				
				//恢復現場
				for(int j =2;j<=t;j++) {
					count -= p[j][t-j+1];
				}
				count -= i;
				
			}
		}
	}

	
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		float SUM = Compute(4);	
		System.out.print("總數： " + SUM);
	}

}

以行數為4的符號三角形為例，顯示輸出如下：

PS：本人水平有限，請多指教。