堆是很重要的一種資料結構，常常用在排序和優先佇列的實現上，當然在C++ STL中有優先佇列的實現，但是者並不妨礙我們去學習他。

堆其實是一種陣列物件，也就是說他的資料全部都儲存在陣列中，它可以被視為一棵完全二叉樹（不懂二叉樹的請自行百度）。（二叉堆）堆有兩種：最大堆和最小堆。

最大堆
通俗來講，滿足下面要求的完全二叉樹為最大堆:
除了根節點以外的每一個節點i，有：
A[Parent]>=A[i]
注：陣列A[]是儲存堆元素的陣列。
這樣堆中的最大值明顯是儲存在根節點中的（如果有和根節點同樣大的值，其子節點也會儲存最大的資料）。

最小堆：
最小堆和最大堆有點相反的意思，其滿足的條件是在完全二叉樹中,除了根節點以外的節點i，有：
A[Parent]<=a[i]

主要的運用的基本過程：
下面以最大堆來描述各個過程和實現

MAX-HEAPIFY（）過程：
保持最大堆的性質，那麼我們假設某個節點i，他的左子樹LEFT(i)和右子數都是最大堆，那麼節點i對於他的兩棵子樹來說可能會小於子數節點，這時候就需要對堆進行調整。執行時間O(lgn);

實現程式碼：
**

//這裡和書上不太一樣，因為他的虛擬碼直接有heapSize
MAX—HEAPIFY(a，int i,int heapSize){
int largest;
int change;
int l = a[i/2];
int r = a[i/2+1];
if(l<=heapSize&&a
 
[l]>a[i])
    largest = l;
if(r<=heapSize&&a[r]>a[l])
    largest = r;
if(largest!=i){
    change = a[i];
    a[i] = a[largest];
    a[largest] = change;
    MAX-HEAPFIPY(A,largest,heapSize);
}
}
注:只有節點i和其子節點有過交換才會繼續判斷，否則就是滿足最大堆的要求的。

BUILD-MAX-HEAP（）過程：
對於一個儲存陣列（儲存著堆 的節點的值），我們知道1…..n個節點的時候從n/2+1到n是葉子節點，那麼一個葉子節點肯定是一個堆，所以我們對堆進行處理一般是對非葉子結點進行處理。程式碼如下：

BUILD—MAX-HEAP(A,int heapSize){
    for(int i = heapSize/2+1;i<n;i++)
         MAX-HEAPIFY(A,i,heapSize);
}

HEAPSORT()過程：
HEAP()就是堆排序過程，首先將給定的資料排列成一個最大，最小堆（這裡以最大堆為例），然後在對堆進行排序：

HEAPSORT（A,int heapSize）{
   BUILD—MAX-HEAP(A,heapsize);
    int leap;
    for(int i = heapSsize-1;i>0;i--){
        leap = a[0];
        a[0] = a[i];
        a[i] = leap;
        heapSize -= 1;
        BUILD-MAX-HEAP(A,a[0],heapSize);  
     }
  }

最小堆的運用實現：

最小堆其實很像最大堆的一個相反的過程。

MIN-HEAPIFY（）過程：

MIN—HEAPIFY(a，int i,int heapSize){
int smallest;
int change;
int l = a[i/2];
int r = a[i/2+1];
if(l<=heapSize&&a[l]<a[i])
    largest = l;
if(r<=heapSize&&a[r]<a[l])
    smallest = r;
if(smallest!=i){
    change = a[i];
    a[i] = a[smallest];
    a[smallest] = change;
    MAX-HEAPFIPY(A,smallest,heapSize);
}
}

BUILD—MIN-HEAP過程

BUILD—MIN-HEAP(A,int heapSize){
    for(int i = heapSize/2+1;i<n;i++)
         MIn-HEAPIFY(A,i,heapSize);
}

HEAPSORT()過程

HEAPSORT（A,int heapSize）{
    BUILD—MIN-HEAP(A,heapsize);
    int b[N];  ///因為我們的a[0]就是最小，如果想要填補我們有另外一個                                          // 陣列            
    int leap;
    int k = 0;
    for(int i = heapSsize-1;i>0;i--){
        b[k++] = a[0];
        a[0] = a[i];
        heapSize -= 1;
        BUILD-MIN-HEAP(A,a[0],heapSize);  
     }
     b[k++] = a[0];
     for(int i=0;i<k;i++)
        a[i] = b[i];
  }