零、前言

前面講了單源最短路徑問題，指定一個原點一個終點，找到最短路徑。但是如果我們要求所有結點對呢？

方案一：可以對每一個結點呼叫一次單源最短路徑演算法，一共呼叫|V|次。（每指定一個原點，可以求出其他任何點到該原點的舉例）

對於權值為非負的圖，可以呼叫Dijkstra演算法，不同的優先佇列實現得到不同的時間複雜度：①線性陣列，O(V^3 + VE) = O(V^3)。②二叉堆，O(VElgV),在稀疏圖的情況下是一個較大的改進。③斐波那契堆，O(V^2lgV + VE)。

如果有權重為負的邊，就要使用Bellman-Ford演算法。時間複雜度為O(V^2E),在稀疏圖的情況下，時間為O(V^4)。

顯然上述方法時間複雜度較大，我們可以利用Floyd-Warshall演算法和Johnson演算法(用於稀疏圖)來求解。

Floyd-Warshall演算法用鄰接矩陣表示，Johnson演算法用鄰接表表示。

一、表示方式

1、權重的表示：

2、返回的是一個矩陣，dij表示從i結點到j結點的最短路徑權重。注意，dij和dji不一樣。為了能求出最短路徑，我們還要儲存父節點資訊，pij表示從i結點到j結點時，j的父節點的位置。那麼到時候通過修改22章的PRINT-PATH演算法就能得到想要的結果。

3、最短路徑和矩陣乘法

（1）利用動態規劃來分析，lij(m)為在結點i和結點j之間最多有m條邊的最小權重。而求lij(m)的時候利用lij(m-1)和在其中任意選一點k得到兩段權值之和的最小值進行比較，取最小值，即

那麼對於n個結點來說，求得lij(n-1)就已經達到了最優化，因此有

（2）自底向上實現

虛擬碼

通過對比矩陣乘法

兩者結構很相似，因此我們對最短路徑求解的時候，可以按照矩陣的方程來求解：L(n-1) = W(n-1)。主迴圈為：

時間複雜度為O(n^4)。

------->優化

對於矩陣或者數的n次方來說，可以通過重複平方的方法來講時間複雜度將為O(n^3 logN)。

又因為有公式

可以不用考慮越界問題，於是得到程式碼如下：

二、Floyd-Warshall演算法

這裡使用的動態演算法不是上面提到的那種，可以講時間複雜度壓縮到O(V^3)。上面的是按照從i到j的邊的個數來遞迴定義的。這裡是按照中間點的個數來定義的，其實質也差不多，但是遞迴的方式發生了變化。

從頂點vi到vj有一條長度為arcs[i][j]的路徑，但不一定是最短的，需要經過n次試探，中間節點依次從v0、v1....vn-1增加，步驟如下：

（1）先考察路徑(vi,v0,vj)師傅存在，如果存在比較(vi,vj)和(vi,v0)+(vi,vj)的大小，取最小值為，中間節點序號不大於0的最短路徑。

（2）再增加一個節點v1，判斷路徑(vi...v1)和(v1...vj)是否存在，注意，vi到v1和v1到vj之間的節點序號最多隻有v0一個，然後將二者的和與剛求得的新的(vi,vj)比較，取最小值更新。

（3）依次增加，比如增加節點k那麼判斷(vi....vk)+(vk...vj)之和的路徑值與最新的(vi,vj)比較取最小值更新。注意(vi....vk)和(vk...vj)之間的節點取值序號必須在0-- k-1之間。

遞迴公式為：

FLOYD-WARSHALL(W)
{
    n = W.rows;
    D0 = W;
    for(k = 1;k <= n;++k){
        let Dk = (dij(k))be a new n*n matrix;
        for i = 1 to n
            for j = 1 to n
                dij(k) = min(dij(k-1),dik(k-1)+dkj(k-1) )
    }
    return Dn;
}

三、用於稀疏圖的Johnson演算法

沒看太懂，詳細參考演算法導論P409