題目分析：一道很好的題，既不是無腦的演算法套路題，也不是單純的推式子題。因此我講得詳細一些。比賽的時候我因為時間問題沒有看這題，後來補了題面，花了一節數學課自己推出了一些東西（O(Tn)$O(Tn)$的做法）。後來看了官方題解，發現了一種關於組合數字首和的新姿勢QAQ。

首先，題面給你的p是沒用的，就是用來混淆視聽。我們只需要算出所有方案的得分之和，最後再除以Cnn+m$C_{n+m}^n$即可。接下來我們想知道，對於每一個k(k∈[n−m,n])$k(k\in [n-m,n])$，最終得分為k的方案數是多少？

不妨假設m≤n$m\le n$。首先考慮k=n−m$k=n-m$的方案數，換句話說就是Alice得分序列的字首和都為非負的方案數。這是一個經典的類似Catalan數的問題。我們可以把Alice的得分序列轉化成平面上從(0,0)到(n,m)的一條路徑，橫著走一步代表出現了一個1，豎著走代表-1：

那麼，不碰到y=x+1這條直線的路徑就是合法的方案（藍色路徑），我們可以用總方案數Cnn+m$C_{n+m}^n$減去不合法的方案數求得。對於一條不合法的路徑（綠色路徑），我們找出它第一次碰到y=x+1的位置，然後翻轉前面的這段路徑（粉色路徑），它就變成了一條從(-1,1)到(n,m)的路徑。可以證明不合法的方案翻轉後都能一一對應這樣的路徑，所以合法的方案數為Cnn+m−Cn+1n+m$C_{n+m}^n-C_{n+m}^{n+1}$。

那麼如果k=n−m+1$k=n-m+1$呢？我們發現，假設Alice得分序列的字首和最小值為-1，那麼她在第一次出現-1的時候，得分會變成0，所以後面的-1就會變為0分，這樣最終得分就是n-m+1。換句話說，我們要求的就是碰到了y=x+1，但沒碰到y=x+2的路徑條數。由類似上面的方法可得，其值為

於是我們推出了最終答案的式子：

通過錯位相減和一些轉換，我們發現：

同理，當n<m$n<m$時：

預處理階乘和其逆元之後，求組合數就是O(1)$O(1)$的。現在的問題變成了如何快速求這個東西：

根據楊輝三角Cji=Cj−1i−1+Cji−1$C_i^j=C_{i-1}^{j-1}+C_{i-1}^j$，我們可以推出：

那麼求F(n,k)$F(n,k)$就相當於詢問平面上點(n,k)$(n,k)$處的值，而我們可以用O(1)$O(1)$的時間移動到某個已知點的相鄰點。這是個經典的問題，可以用分塊或者莫隊解決。雖然它們都是