最少貨幣換錢問題求解（動態規劃）

問題：換錢問題
給定一個數組arraydemo，arraydemo中所有的值都為正數且不重複。
每個值代表一種面值的貨幣，每種面值的貨幣可以使用任意張，再給定一個整數aim代表要找的錢數，
求組成aim的最少貨幣數。

舉例：
arraydemo=[1,5,10,50,100],aim = 53
1張50元,再加上3張1元，可以組成53元；其它的找錢方案都要使用更多張的貨幣，所以返回4
arraydemo=[1,5,10,50,100],aim=0
不用任何貨幣就可以組成0元，返回0
arraydemo=[5,10,50,100],aim=2
根本無法組成2元，錢不能找開的情況下預設返回-1

使用動態規劃求解思想分析過程：

原問題的分析為，如果arraydemo長度為N，生成行數為N，列數為aim+1的動態規劃表的矩陣DP。
dp[i][j]的含義是，在可以任意使用 arraydemo[0…i]貨幣的情況下，組成j所需的最小張數。
據此，dp[i][j]的值可以按照如下方式進行計算：
1、dp[0..N-1][0] 的值，即DP矩陣中第一列的值，表示找的錢數為0時需要的最少張數。錢數為0時，不需要任何貨幣，所以全設定為0即可。
2、dp[0][0..aim-1]的值，即DP矩陣中第一行的值，表示只能使用arraydemo[0]貨幣的情況下，找某個錢數的最小張數。
例如：arraydemo[0]=5，那麼能找開的錢數為 5，10，15，……，所以令 dp[0][5]=1， dp[0][10]=2， dp[0][15]=3，…，第一行其它位置所代表的錢數一律找不開，所以一律設定為32為整數的最大值，標記為max。
3、剩下的位置依次從左到右，再從上到下計算。
假設計算到位置：（i，j），dp[i][j]的值可能有：
（1） 完全不使用當前貨幣arraydemo[i]情況下的最少張數，即dp[i-1][j]的值
（2）只使用1張當前貨幣arraydemo[i]情況下的最少張數，即 dp[i-1][j-arraydemo[i]]+1
（3）只使用2張當前貨幣arraydemo[i]情況下的最少張數，即 dp[i-1][j-2*arraydemo[i]]+2
（4）只使用3張當前貨幣arraydemo[i]情況下的最少張數，即 dp[i-1][j-3*arraydemo[i]]+3

所有的情況中，最終取張數最小的。所以，

dp[i][j] = min(dp[i-1][j-k*arraydemo[i]]+k(0<=k))
推匯出; dp[i][j]=min(dp[i-1][j],min(dp[i-1][j-x*arraydemo[i]]+x(1<=x)))
再推匯出：dp[i][j]=min(dp[i-1][j],min(dp[i-1][j-arraydemo[i]-y*arraydemo[i]]+y+1(0<=y)))

又有：
min(dp[i-1][j-arraydemo[i]-y*arraydemo[i]]+y(0<=y)) => dp[i][j-arraydemo[i]]
所以，最終有：
dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-arraydemo[i]]+1)
如果： j-arraydemo[i]<0,即發生了越界，說明 arraydemo[i]太大，用一張都會超過錢數j，令 dp[i][j]=dp[i-1][j]即可。

package com.bean.algorithmexec;

public class ExchangeDemo {

    /*
     * 問題：換錢問題
     * 給定一個數組arraydemo，arraydemo中所有的值都為正數且不重複。
     * 每個值代表一種面值的貨幣，每種面值的貨幣可以使用任意張，再給定一個整數aim代表要找的錢數，
     * 求組成aim的最少貨幣數。
     * 
     * 舉例：
     * arraydemo=[1,5,10,50,100],aim = 53
     * 1張50元,再加上3張1元，可以組成53元；其它的找錢方案都要使用更多張的貨幣，所以返回4
     * arraydemo=[1,5,10,50,100],aim=0
     * 不用任何貨幣就可以組成0元，返回0
     * arraydemo=[5,10,50,100],aim=2
     * 根本無法組成2元，錢不能找開的情況下預設返回-1
     * 
     * */

    private static int exchangeWays(int[] arraydemo, int aim) {
        // TODO Auto-generated method stub

        if(arraydemo==null || arraydemo.length==0 || aim<0) {
            return -1;
        }

        int n=arraydemo.length;
        int max=Integer.MAX_VALUE;
        int[][] dp=new int[n][aim+1];
        for(int j=1;j<=aim;j++) {
            dp[0][j]=max;
            if(j-arraydemo[0]>=0 && dp[0][j-arraydemo[0]]!=max) {
                dp[0][j]=dp[0][j-arraydemo[0]]+1;
            }
        }

        int left=0;
        for(int i=1;i<n;i++) {
            for(int j=1;j<=aim;j++) {
                left=max;
                if(j-arraydemo[i]>=0 && dp[i][j-arraydemo[i]]!=max) {
                    left=dp[i][j-arraydemo[i]]+1;
                }
                dp[i][j]=Math.min(left, dp[i-1][j]);
            }
        }


        return dp[n-1][aim] != max? dp[n-1][aim]:-1;
    }   

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub

        int arraydemo[]= {1,5,10,50,100};
        int aim=57;

        int answer= exchangeWays(arraydemo,aim);
        System.out.println("# ANSWER= "+answer);

    }

}

（完）