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假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那麽 a^(p-1)≡1（mod p）

例如：假如a是整數，p是質數，則a,p顯然互質(即兩者只有一個公約數1)，那麽我們可以得到費馬小定理的一個特例，即當p為質數時候， a^(p-1)≡1(mod p)。

首先看一個基本的例子。 令a = 3，n = 5，這兩個數是互素的。 比5小的正整數中與5互素的數有1、2、3和4，所以φ(5)=4（詳情見[歐拉函數]）。 計算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。與定理結果相符。 這個定理可以用來簡化冪的模運算。 比如計算7^{222}的個位數，實際是求7^{222}被10除的余數。 7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由歐拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。 所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。

補充：

費馬小定理是初等數論四大定理（威爾遜定理，歐拉定理（數論中的歐拉定理），中國剩余定理(又稱孫子定理）之一，在初等數論中有著非常廣泛和重要的應用。實際上，它是歐拉定理的一個特殊情況（即

，見於詞條“歐拉函數”）。

費馬小定理【數論】