選擇排序—堆排序（Heap Sort）

堆排序是一種樹形選擇排序，是對直接選擇排序的有效改進。

基本思想：

堆的定義如下：具有n個元素的序列（k1,k2,...,kn),當且僅當滿足

時稱之為堆。由堆的定義可以看出，堆頂元素（即第一個元素）必為最小項（小頂堆）。
若以一維陣列儲存一個堆，則堆對應一棵完全二叉樹，且所有非葉結點的值均不大於(或不小於)其子女的值，根結點（堆頂元素）的值是最小(或最大)的。如：

（a）大頂堆序列：（96, 83,27,38,11,09)

(b) 小頂堆序列：（12，36，24，85，47，30，53，91）

初始時把要排序的n個數的序列看作是一棵順序儲存的二叉樹（一維陣列儲存二叉樹），調整它們的儲存序，使之成為一個堆，將堆頂元素輸出，得到n 個元素中最小(或最大)的元素，這時堆的根節點的數最小（或者最大）。然後對前面(n-1)個元素重新調整使之成為堆，輸出堆頂元素，得到n 個元素中次小(或次大)的元素。依此類推，直到只有兩個節點的堆，並對它們作交換，最後得到有n個節點的有序序列。稱這個過程為堆排序。

因此，實現堆排序需解決兩個問題：
1. 如何將n 個待排序的數建成堆；
2. 輸出堆頂元素後，怎樣調整剩餘n-1 個元素，使其成為一個新堆。

首先討論第二個問題：輸出堆頂元素後，對剩餘n-1元素重新建成堆的調整過程。

調整小頂堆的方法：

1）設有m 個元素的堆，輸出堆頂元素後，剩下m-1 個元素。將堆底元素送入堆頂（（最後一個元素與堆頂進行交換），堆被破壞，其原因僅是根結點不滿足堆的性質。

2）將根結點與左、右子樹中較小元素的進行交換。

3）若與左子樹交換：如果左子樹堆被破壞，即左子樹的根結點不滿足堆的性質，則重複方法（2）.

4）若與右子樹交換，如果右子樹堆被破壞，即右子樹的根結點不滿足堆的性質。則重複方法（2）.

5）繼續對不滿足堆性質的子樹進行上述交換操作，直到葉子結點，堆被建成。

稱這個自根結點到葉子結點的調整過程為篩選。如圖：

再討論對n 個元素初始建堆的過程。

建堆方法：對初始序列建堆的過程，就是一個反覆進行篩選的過程。

1）n 個結點的完全二叉樹，則最後一個結點是第個結點的子樹。

2）篩選從第個結點為根的子樹開始，該子樹成為堆。

3）之後向前依次對各結點為根的子樹進行篩選，使之成為堆，直到根結點。

如圖建堆初始過程：無序序列：（49，38，65，97，76，13，27，49）

演算法的實現：

從演算法描述來看，堆排序需要兩個過程，一是建立堆，二是堆頂與堆的最後一個元素交換位置。所以堆排序有兩個函式組成。一是建堆的滲透函式，二是反覆呼叫滲透函式實現排序的函式。

package com;
/*
* Java實現快速排序演算法
* 由大到小排序
* author:wyr
* 2016-7-14
*兩個步驟：1，建堆 2，對頂與堆的最後一個元素交換位置
*/
publicclass HeapSort {
publicstaticvoid main(String[] args) {
int a[] = {3,1,5,7,2,4,9,6,10,8};
HeapSort obj=new HeapSort();
System.out.println("初始值：");
obj.print(a);
for(int i=0;i<a.length;i++){
obj.createLittleHeap(a,a.length-1-i);//建立堆,建立的是小頂堆。每次迴圈完，二叉樹的根節點都是最小值，所以與此時的未排好部分最後一個值交換位置
obj.swap(a, 0, a.length - 1 - i);//與最後一個值交換位置，最小值找到了位置
obj.print(a);
System.out.println();
}
System.out.println("\n排序後：");
obj.print(a);
}
/*
* 建立小頂堆：雙親節點小於子節點的值。從葉子節點開始，直到根節點。這樣建立的堆定位最小值
*/
privatevoid createLittleHeap(int[] data, int last) {
for (int i = (last- 1) / 2; i >= 0; i--) { //找到最後一個葉子節點的雙親節點
// 儲存當前正在判斷的節點
int parent = i;
// 若當前節點的左子節點存在，即子節點存在
while (2 * parent + 1 <= last) {
// biggerIndex總是記錄較大節點的值,先賦值為當前判斷節點的左子節點
int bigger = 2 * parent + 1;//bigger指向左子節點
if (bigger < last) { //說明存在右子節點
if (data[bigger] > data[bigger+ 1]) { //右子節點>左子節點時
bigger=bigger+1;
}
}
if (data[parent] > data[bigger]) { //若雙親節點值大於子節點中最大的
// 若當前節點值比子節點最大值小，則交換2者得值，交換後將biggerIndex值賦值給k
swap(data, parent, bigger);
parent = bigger;
} else {
break;
}
}
}
}
publicvoid print(int a[]){
for(int i=0;i<a.length;i++){
System.out.print(a[i]+" ");
}
}
publicvoid swap(int[] data, int i, int j) {
if (i == j) {
return;
}
data[i] = data[i] + data[j];
data[j] = data[i] - data[j];
data[i] = data[i] - data[j];
}
}

堆排序需要雙層迴圈，第一層控制迴圈多少次，第二層得到每次的最小值（小頂堆）

package arrayTest;
import java.util.ArrayList;
publicclass Solution32 {
/* 輸入n個整數，找出其中最小的K個數。
* 例如輸入4,5,1,6,2,7,3,8這8個數字，
* 則最小的4個數字是1,2,3,4,。
* */
public ArrayList<Integer> GetLeastNumbers_Solution(int [] input, int k) {
ArrayList<Integer> result = new ArrayList<Integer>();
if(k > input.length) return result;
for(int i = 0; i < k ; i ++){//只排前k次
heapSort(input,i,input.length);//進行第i次排序
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