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Matrix Power Series
Time Limit: 3000MS Memory Limit: 131072K
Total Submissions: 20125 Accepted: 8449
Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3 + … + Ak.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 109) and m (m < 104). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1
Sample Output

1 2
2 3

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題目大意 ： 就是求S %m；

題解 : 其實很容易知道A^k 之後只需加和就行了

但是直接加和還是不行 k的範圍是在太大 會超時 所以就構造一個矩陣

因為S可以看成S=A(I+A(I+A(I+…A(I+A)))) (I是單位矩陣)

拿k=3舉例S=A(I+A(I+A))

那麼我們想，可不可以構造一個矩陣T使得T*T（因為是k次冪）這樣乘下去每次可以得到A*(A+I)

那麼肯定T有個兩個元素就是A與I

那麼假設：T={A I }
I I
那麼T=T*T={A*A+I*I A*I+I*I}
A*I+I*I I*I+I*I
這樣存在一個I*（A+I）的式子 ，當T再乘以T的時候會出現A（A+I）

這個時候我們可以簡化將T={A I}

                                        0   I
 

這樣可以簡化很多計算T*T={A*A A*I+I*I}
0 I

那麼容易得到T^(K+1)={A^(K+1) I+A+A^2+A^3+…+A^K}
0 I

這樣我們只需要算T的k+1次冪就可以了

實在懶得寫這些 其實就是簡單的等比矩陣求和 學過線性代數 就應該能構造出來矩陣的

錯將輸入 n,k,m 當成的 n,m,k 錯了一上午 。。汗2333333333

附本提程式碼

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#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <math.h>

using namespace std;

/******************************/
#define LL long long int
#define _LL __int64
/*****************************/

/*
const int M = 100;
const int MOD = 1e4;
*/

#define M   n*2
#define MOD m

LL n,m,k;


struct Matrix
{
   // int r,c;   //C行R列
    LL m[66][66];
};

Matrix operator * (Matrix a,Matrix b)
{
    Matrix c;
    for(int i=0; i<M; i++) //初始化矩陣
        for(int j=0; j<M; j++)
            c.m[i][j]= 0;

    for(int k=0; k<M; k++)
        for(int i=0; i<M; i++) //實現矩陣乘法
        {
            if(a.m[i][k] <= 0)  continue;  //剪枝
            for(int j=0; j<M; j++)
            {
               // if(b.m[k][j] <= 0)    continue;  //剪枝
                c.m[i][j]=(c.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j]+MOD)%MOD;
            }
        }
    return c;
}

Matrix operator ^ (Matrix a,LL b)
{
    Matrix c;
    for(int i=0; i<M; i++) //初始化單位矩陣
        for(int j=0; j<M; j++)
            c.m[i][j]= ( i == j );

    while(b)
    {
        if(b&1) c= c * a ;
        b >>= 1;
        a = a * a ;
    }

    return c;
}

Matrix operator + (Matrix a,Matrix b)
{
    for(int i=0; i<M; i++)
        for(int j=0; j<M; j++)
            a.m[i][j]=(a.m[i][j]+b.m[i][j]+MOD)%MOD;

    return a;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    while( cin>>n>>k>>m )
    {
        Matrix a;
        memset(a.m,0,sizeof(a.m));

        for(int i=0; i<n; i++)
            for(int j=0; j<n; j++)
                cin >> a.m[i][j];

        for(int i=0;i<n;i++)
            a.m[i+n][i+n]=a.m[i][i+n]=1;

        Matrix c;

        c = a ^ ( k + 1 );

        for(int i=0;i<n;i++)  //減掉單位矩陣。。
            c.m[i][i+n] = (c.m[i][i+n]-1+MOD)%MOD;

        for(int i=0; i<n; i++)
        {
            for(int j=0; j<n; j++)
            {
                if(j) cout<<" ";
                cout<<c.m[i][j+n];
            }
            cout<<endl;
        }

    }
    return 0;
}