獨立任務最優排程問題
研究一個例項：
n=6
a = {2, 5, 7, 10, 5, 2};
b = {3, 8, 4, 11, 3, 4}.
分析：當完成k個作業，設機器A花費了x時間，機器B所花費時間的最小值肯定是x的一個函式，設F[k][x]表示機器B所花費時間的最小值（注意，這是B機器所花費的時間，即當B機器停機時的時間點）。則有
F[k][x]=Min{ F[k-1][x]+b[k], F[k-1][x-a[k]] }；
其中，F[k-1][x]+b[k]表示第k個作業由機器B來處理（完成k-1個作業時機器A花費的時間仍是x，前提就是A機器停機的時間是x），F[k-1][x-a[k]]表示第k個作業由機器A處理（完成k-1個作業時機器A花費的時間是x-a[k]）。
那麼x（表示A機器的停機時間）、F[k][x]（表示B機器的停機時間）兩者取最晚停機的時間，也就是兩者中最大的時間，是在AB在此時間中完成k任務最終的時間：Max(x, F[k][x])。而機器A花費的時間x在此期間是一個變數，其取值可以是即x=0,1,2……x(max)，（理論上x的取值是離散的，但為程式設計方便，設為整數連續的）由此構成了點對較大值序列。要求整體時間最短，取這些點對較大值序列中最小的即是。示例：前兩個作業示例足矣。
初始化第一個作業：下標以0開始。
首先，機器A所花費時間的所有可能值範圍：0 <= x <= a[0].
設x<0時，設F[0][x]= ∞，則max(x, ∞)= ∞；記法意義見下。
x=0時，F[0][0]=3，則Max(0,3)=3，機器A花費0時間，機器B花費3時間，而此時兩個機器所需時間為3；
x=1時，F[0][1]=3，Max(1,3)=3；
x=2時，F[0][2]=0，則Max(2,0)=2；
那麼上面的點對序列中，可以看出當x=2時，完成第一個作業兩臺機器花費最少的時間為2，此時機器A花費2時間，機器B花費0時間。
來看第二個作業：
首先，x的取值範圍是：0 <= x <= (a[0] + a[1]).
當x<0時，記F[1][x] = ∞；這個記法程式設計使用，因為陣列下標不能小於0。在這裡的實際含義是：x是代表完成前兩個作業機器A的時間，a[1]是機器A完成第2個作業的時間，若x<a[1]，則勢必第2個作業由機器B來處理，即在Min()中取前者。
x=0，則F[1][0]= Min{ F[0][0]+b[2], F[0][0-a[1]] }= Min{3+8,∞}=11，進而Max(0,11)=11；
x=1，則F[1][1]= Min{ F[0][1]+b[2], F[0][1-a[1]] }= Min{3+8,∞}=11，進而Max(11)=11；
x=2，則F[1][2]= Min{ F[0][2]+b[2], F[0][2-a[1]] }= Min{0+8,∞}=8，進而Max(2,8)=8；
x=3，則F[1][3]= Min{ F[0][3]+b[2], F[0][3-a[1]] }= Min{0+8,∞}=8，進而Max(3,8)=8；
x=4，則F[1][4]= Min{ F[0][4]+b[2], F[0][4-a[1]] }= Min{0+8,∞}=8，進而Max(4,8)=8；
x=5，則F[1][5]= Min{ F[0][5]+b[2], F[0][5-a[1]] }= Min{0+8,3}=3，進而Max(5,3)=5；
x=6，則F[1][6]= Min{ F[0][6]+b[2], F[0][6-a[1]] }= Min{0+8,3}=3，進而Max(6,3)=6；
x=7，則F[1][7]= Min{ F[0][7]+b[2], F[0][7-a[1]] }= Min{0+8,0}=0，進而Max(7,0)=7；
那麼上面的點對序列中，可以看出當x=5時，完成兩個作業兩臺機器花費最少的時間為5，此時機器A花費5時間，機器B花費3時間。
程式程式碼如下：
- <span style="font-size:16px;">using System;
- namespace zydd
- {
- class Program
- {
- //獨立任務最優排程函式，引數為兩組任務和任務個數，最優時間和順序結果。
- staticvoid DlrwZydd(int[] a, int[] b, int n, int[] least, string[] result)
- {
- //首先給一個大值。
- for (int i = 0; i < n; i++)
- {
- least[i] = 99;
- }
- //若任務只有一臺機器完成，求得兩個時間。
- int aSum = 0, bSum = 0;
- for (int i = 0; i < n; i++)
- {
- aSum += a[i];
- bSum += b[i];
- }
- //小值加1作為陣列的列數，減少儲存空間。
- int Sum = 1 + Math.Min(aSum, bSum);
- //建立四個行數列數相同的陣列，timeA儲存機器A可能用的時間，timeB儲存對應機器B用的時間，
- //timeMax記錄兩者共需的時間，即較大的那個；who則標識完成該任務的機器是A還是B。
- int[,] timeA = newint[n, Sum];
- int[,] timeB = newint[n, Sum];
- int[,] timeMax = newint[n, Sum];
- char[,] who = newchar[n, Sum];
- char[] tempRlt = newchar[n];//tempRlt記錄機器完成任務的機器順序，並逐一賦值給result
- //先計算第1個任務相關值，記錄在四個陣列的第0行。
- for (int i = 0; i <= a[0]; i++)
- {
- timeA[0, i] = i;
- if (i < a[0])
- {
- timeB[0, i] = b[0];
- who[0, i] = 'b';
- }
- else
- {
- timeB[0, i] = 0;
- who[0, i] = 'a';
- }
- timeMax[0, i] = Math.Max(timeA[0, i], timeB[0, i]);
- }
- //儘管像下面一樣，直接比較即可得出完成第1項任務的最優時間，但由於使用動態規劃，計算上述值是必需的。
- if (a[0] <= b[0])
- {
- least[0] = a[0];
- tempRlt[0] = 'a';
- }
- else
- {
- least[0] = b[0];
- tempRlt[0] = 'b';
- }
- result[0] = new String(tempRlt);
- //計算第2個至第n個任務，分別記錄在四個陣列相應行。
- for (int k = 1; k < n; k++)
- {
- //tempSum記錄完成前k項任務機器A最多需要的時間，即全部由A完成需要的時間，亦即機器A所有可能的取值範圍。
- int tempSum = 0;
- for (int temp = 0; temp <= k; temp++)
- {
- tempSum += a[temp];
- }
- //計算出所有可能的點對(timeA,timeB)，並取值timeMax。
- for (int i = 0; i <= tempSum; i++)
- {
- //機器A在完成前k項任務時所花費的時間為i。
- timeA[k, i] = i;
- //i即timeA[k, i]，若機器A完成前k項任務的時間 小於 它完成第k項的時間，可能嗎？不可能，所以第k項任務肯定由機器B做。
- if (i < a[k])
- {
- timeB[k, i] = timeB[k - 1, i] + b[k];
- who[k, i] = 'b';
- }
- //按照前述動態規劃方式的思想，確定機器A在花費i時間時，機器B花費的最優時間。
- else
- {
- if ((timeB[k - 1, i] + b[k]) <= timeB[k - 1, i - a[k]])
- {
- timeB[k, i] = timeB[k - 1, i] + b[k];
- who[k, i] = 'b';
- }
- else
- {
- timeB[k, i] = timeB[k - 1, i - a[k]];
- who[k, i] = 'a';
- }
- }
- //兩臺機器花費時間較大的那個為總花費時間。
- timeMax[k, i] = Math.Max(timeA[k, i], timeB[k, i]);
- }
- //處理陣列tempSum後面的值。機器A時間全部設為最大，此時機器B則無需花費時間。
- for (int i = tempSum + 1; i < aSum; i++)
- {
- timeA[k, i] = tempSum;
- timeB[k, i] = 0;
- }
- //完成第k項任務後，在timeMax所有可能值中，選取最小值即最優值。
- int flag = 0;//記錄最優值所在的位置i值，同時也是機器A所花費的時間。
- for (int i = 0; i <= tempSum; i++)
- {
- if (timeMax[k, i] > 0 && timeMax[k, i] < least[k])
- {
- least[k] = timeMax[k, i];
- flag = i;
- }
- }
- //用來回溯所用機器的順序，需要注意的是機器A所花費的時間和陣列的下標一樣，因此可用做標記。
- //最後一項任務的回溯路徑已在示意圖中標出，便於理解。
- tempRlt[k] = who[k, flag];
- for (int i = k; i > 0 && flag > 0; i--)
- {
- //如果是機器A完成第i項任務，則機器A花費的時間減去a[i]就是完成前i-1項任務的時間。
- //同時在who中可以確定前一項任務的機器，因為機器A花費的時間可用做位置標記。
- if (tempRlt[i] == 'a')
- {
- flag -= a[i];
- tempRlt[i - 1] = who[i - 1, flag];
- }
- if (tempRlt[i] == 'b')
- {
- tempRlt[i - 1] = who[i - 1, flag];
- }
- }
- result[k] = new String(tempRlt);
- }
- }
- staticvoid Main(string[] args)
- {
- constint N = 6;
- int[] a = newint[N] { 2, 5, 7, 10, 5, 2 };
- int[] b = newint[N] { 3, 8, 4, 11, 3, 4 };
- int[] least = newint[N]; //記錄完成任務的最優時間
- string[] result = newstring[N]; //記錄完成任務機器的順序
-
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