用兩臺處理機$A$和$B$處理$n$個作業。設$A$和$B$處理第$k$個作業的時間分別為$a_k$和$b_k$。由於各個作業的特點和機器效能的關係，對某些作業，在$A$上的處理時間長；而對另一些作業，在$B$上的處理時間更長。一臺處理機在某個時刻只能處理一個作業，而且作業處理是不可中斷的，每個作業只能被處理一次。現在要找出一個最優排程方案，使得$n$個作業被這兩臺處理機處理完畢的時間和最少。

    本題是一個獨立任務最優排程問題，也被稱為雙機排程問題，可以利用動態規劃的思想解決。當完成$k$個作業時，設機器$A$花費了$x$時間，機器$B$花費時間的最小值肯定是$x$的一個函式。設$F$

[k,x]F[k, x]表示完成k個作業且機器$A$花費$x$時間的條件下機器$B$所花費時間的最小值，那麼$F[k, x] = min\{F[k-1, x] + b_k, F[k-1, x-a_k]\}$。其中$F[k-1, x] + b_k$表示第k個作業由機器B來處理，完成前$k-1$個作業時機器$A$所花費的時間還是$x$。而$F[k-1,x-a_k]$表示第$k$個作業由機器$A$來處理，此時完成前$k-1$個作業機器A花費的時間是$x-a_k$。

    根據$F$的定義，我們知道$F[n, x]$表示完成$n$個作業且機器$A$花費$x$時間的條件下機器$B$所花費時間的最小值。顯然，$0 \le x \le \sum\limits_{k = 0}^{n}a_k$，所以對於$x_i($區間$[0, \sum\limits_{k = 0}^{n}a_k]$內的任一整數$)$，總有一個$F[n, x_i]$

[n,xi​]與其對應，那麼$min\left\{max\{x_i, F[n, x_i]\}\right\}$就是最後的結果。由於要處理每個作業$k$，並且處理每個作業$k$的時候都要迴圈$\sum\limits_{j = 0}^{k}a_j$次，所以演算法的時間複雜度為$O(n\sum\limits_{k = 0}^{n}a_k)$。

    考慮以下包含$6$個作業的例子，其中$a_k=\{2,5,7,10,5,2\}$，而$b_k=\{3,8,4,11,3,4\}$。下面對前兩個作業進行簡單的分析。

作業1	作業2	作業3	作業4	作業5	作業6
處理機A	2	5	7	10	5	2
處理機B	3	8	4	11	3	4

    對於第一個作業，機器$A$所花費時間$x$的取值範圍是$0 \le x \le a_1$。當$x\lt0$時，設$F[1,x] = \infty$。$x=0$時，$F[1,0]=3$,此時$max(0,F[1,0])=3$，即機器$A$花費$0$時間，機器$B$花費$3$時間；$x=1$時，$F[1,1]=3$，$max(1,F[1,1])=3$；$x=2$時，$F[1,2]=0$，$max(2,F[1,2])=2$，此時作業$1$由機器$A$來處理，花費$2$時間，而機器$B$不處理作業。

    對於第二個作業，$x$的取值範圍是$0 \le x \le a_1 + a_2$。當$x\lt 0$時，同樣設$F[2,x] = \infty$。
    $x=0$，$F[2,0]=min\{F[1,0]+b_2,F[1,0-a_2]\}=min\{3+8,\infty\}=11$，所以$max(0,11)=11$；
    $x=1$，$F[2,1]=min\{F[1,1]+b_2,F[1,1-a_2]\}=min\{3+8,\infty\}=11$，所以$max(1,11)=11$；
    $x=2$，$F[2,2]=min\{F[1,2]+b_2,F[1,2-a_2]\}=min\{0+8,\infty\}=8$，所以$max(2,8)=8$；
    $x=3$，$F[2,3]=min\{F[1,3]+b_2,F[1,3-a_2]\}=min\{0+8,\infty\}=8$，所以$max(3,8)=8$；
    $x=4$，$F[2,4]=min\{F[1,4]+b_2,F[1,4-a_2]\}=min\{0+8,\infty\}=8$，所以$max(4,8)=8$；
    $x=5$，$F[2,5]=min\{F[1,5]+b_2,F[1,5-a_2]\}=min\{0+8,3\}=3$，所以$max(5,3)=5$

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