15. 約瑟夫問題（題目042）

題目：

n個人圍成一圈，從第一個開始報數，第m個將被殺掉，最後剩下一個，其餘人都將被殺掉。求最後剩下的人的序號。例如n=6，m=5，被殺掉的人的序號為5，4，6，2，3。最後剩下1號。

解答：

思路：

如果要列印整個過程，有3種方法：

1.連結串列法：產生長度為n的迴圈連結串列，然後每遍歷m次輸出當前序號，並刪除節點，直到連結串列中只有一個元素為止。

2.陣列法：建立一個輔助陣列，初始都為0，然後每遍歷m個為0的位置就輸出當前序號，並將該位置的值改為1，直到陣列大小變成1為止。

3.陣列法：建立一個輔助陣列，其中儲存編號，每刪除一個就將後面的編號前移。

這3種方法的時間複雜度都是

為了簡化問題，我們假定序號從0開始。

對於n個人的情況，第1個殺掉的人肯定是(m-1)%n號，這時剩下的人記為m，m+1，…，n-1，0，…，m-2，將它們重新記為0，1，2，…，n-2，其中的對應關係為：

X = (x’ + m) % n

其中x為n個人時的序號，x’為n-1個人時的序號，令f(n)為n個人時最後剩餘的人的序號，則f(n)和此時的f(n-1)應該對應著同一個人，且其編號有如上式的對應關係，即：

f(n) = (f(n-1) + m) % n

其初始條件為f(1)=0。返回結果時再將f(n)+1，從而變換成序號從

int Josephus(int n, int m)
{
    int result = 0, i;
    for (i = 2; i <= n; ++i)
        result = (result + m) % i;
    return result + 1;
}

16. 最大子矩陣和（題目052）

題目：

輸入一個M*N的矩陣，其中每個元素為有正有負的整數，輸出它的最大的子矩陣元素和。如果不存在矩陣和為正數的子矩陣，返回0。

解答：

方法1：

簡單的三重迴圈求每個子矩陣的矩陣和，返回最大值，時間複雜度O(m³n³)。

方法2：

定義一個大小也為m*n的新矩陣

sub_sum[i][j] = sub_sum[i-1][j] + sub_sum[i][j-1] - sub_sum[i-1][j-1] + mt[i][j];

則對任意子矩陣{a,b}~{c,d}，它的矩陣和為：

sum = sub_sum[c][d] - sub_sum[c][b-1] - sub_sum[a-1][d] + sub_sum[a-1][b-1];

總的時間複雜度為O(m²n²)。

方法3：

利用最大子序列和的性質，求出[si, ei]範圍內每列的和，再從其中找出最大連續子序列的和，就是要求的結果。時間複雜度O(mn²)。

int MaxSubMatrixSum(const Matrix *mt)
{
    int rows = mt->rows, cols = mt->cols ,size = cols * sizeof(int);
    int *col_sum = malloc(size);
    int si, ei, j, max_sum = 0;
    for (si = 0; si < rows; ++si)
    {
        memset(col_sum, 0, size);
        for (ei = si; ei < rows; ++ei)
        {
            for (j = 0; j < cols; ++j)
                col_sum[j] += mt->data[ei][j];
            int sum = MaxSum(col_sum, cols);
            if (sum > max_sum)
                max_sum = sum;
        }
    }
    return max_sum;
}