題目

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.
Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).
You may assume nums1 and nums2 cannot be both empty.

有兩個已經排好序（升序）的陣列 nums1 和 nums2，大小分別為 m 和 n。
要求找到兩個陣列的中位數。時間複雜度需要為 O(log(m+n))。
兩個陣列不會同時為空。

示例：
Example 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
The median is 2.0

Example 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
The median is (2 + 3)/2 = 2.5

思路

兩個陣列都是有序的，讓我想起了歸併排序：將兩個有序數組合在一起並排序，只需要用兩個指標分別掃描兩個陣列，每次指標+1並比較大小。
這道題可以直接使用歸併排序，然後找到中位數，但是這樣複雜度為O(m+n)，不滿足條件。
由於這道題只需要找到中位數，其他元素是否排序無關緊要，因此，兩個指標不必每次只+1，而是每次加一個最合適的值，使得整體複雜度最小。這個合適的值，一般等於還差多少位到終點的一半，這樣，複雜度便為 O(log(m+n))。

python實現

# -*- coding: utf-8 -*-

def findMedianSortedArrays(nums1, nums2):
    """
    :type nums1: List[int]
    :type nums2: List[int]
    :rtype: float

    思路：
    兩個陣列都是有序的，讓我想起了歸併排序：將兩個有序數組合在一起並排序，只需要用兩個指標分別掃描兩個陣列，每次指標+1並比較大小。
    這道題可以直接使用歸併排序，然後找到中位數，但是這樣複雜度為O(m+n)，不滿足條件。
    由於這道題只需要找到中位數，其他元素是否排序無關緊要，因此，兩個指標不必每次只+1，而是每次加一個最合適的值，使得整體複雜度最小。
    """
 


    def fun_rec(nums1, i, nums2, j, k):
        '''
        找到兩個陣列的整體排序後的第 i+j+k 個數。分別已經掃描過了前i個和前j個，需要在此基礎上找到第 k 個數。
        '''

        # 遞迴結束條件
        if i == len(nums1):
            return nums2[j+k-1]
        if j == len(nums2):
            return nums1[i+k-1]
        if k == 1:
            return min(nums1[i], nums2[j])

        # 保證前一個數組的剩餘長度比後一個數組要短，這樣只要控制好前一個數組的下標，就不用判斷後一個數組是否會溢位
        if len(nums1) - i > len(nums2) - j:
            return fun_rec(nums2, j, nums1, i, k)

        # 兩個指標分別從i和j開始，都直接加上 k/2，然後比較大小，選出較小的那個陣列，繼續和另一個數組進行遞迴。
        ii = i + int(k/2)
        ii = min(ii, len(nums1)) # 不能溢位
        jj = i+j+k-ii # 保證 (ii-i)+(jj-j) == k，即 ii和jj的增量的和正好是k，這樣可以達到每次儘可能增加最大的下標增量，而又不會越過第k個數
        if nums1[ii-1] == nums2[jj-1]: # 相等，說明正好是第k個數
            return nums1[ii-1]
        if nums1[ii-1] < nums2[jj-1]: # 前一個值小，說明在最終第k個數，肯定在ii之後
            return fun_rec(nums1, ii, nums2, j, k+i-ii) # 始終保持 fun_rec 函式的第2、4、5的引數的和等於 i+j+k
        return fun_rec(nums1, i, nums2, jj, k+j-jj)

    # 判斷應該尋找第幾個數
    total = len(nums1) + len(nums2)
    if total % 2 == 1: # 奇數，需要尋找最中間的那個數
        return fun_rec(nums1, 0, nums2, 0, int((total+1)/2))
    else: # 偶數，需要求中間兩個數的均值
        return (fun_rec(nums1, 0, nums2, 0, int(total/2)) + fun_rec(nums1, 0, nums2, 0, int(total/2+1))) / 2

def findMedianSortedArrays2(nums1, nums2):
    """
    :type nums1: List[int]
    :type nums2: List[int]
    :rtype: float

    上一個方法有個缺點，就是如果是偶數，那麼在求中間兩個數的時候，大部分過程是重複的。
    改進：將fun_rec輸出第k個數改為輸出第k個數和第k+1個數。

    """

    def fun_rec(nums1, i, nums2, j, k):
        '''
        找到兩個陣列的整體排序後的第 i+j+k 個數和右鄰的數。分別已經掃描過了前i個和前j個，需要在此基礎上找到第 k 個數。
        '''

        # 遞迴結束條件
        if i == len(nums1):
            return (nums2[j+k-1], nums2[j+k])
        if j == len(nums2):
            return (nums1[i+k-1], nums1[i+k])
        if k == 1:
            if nums1[i] < nums2[j]:
                return (nums1[i], find_next(nums1, i, nums2, j-1))
            else:
                return (nums2[j], find_next(nums2, j, nums1, i-1))

        # 保證前一個數組的剩餘長度比後一個數組要短，這樣只要控制好前一個數組的下標，就不用判斷後一個數組是否會溢位
        if len(nums1) - i > len(nums2) - j:
            return fun_rec(nums2, j, nums1, i, k)

        # 兩個指標分別從i和j開始，都直接加上 k/2，然後比較大小，選出較小的那個陣列，繼續和另一個數組進行遞迴。
        ii = i + int(k/2)
        ii = min(ii, len(nums1)) # 不能溢位
        jj = i+j+k-ii # 保證 (ii-i)+(jj-j) == k，即 ii和jj的增量的和正好是k，這樣可以達到每次儘可能增加最大的下標增量，而又不會越過第k個數
        if nums1[ii-1] == nums2[jj-1]: # 相等，說明正好是第k個數
            return (nums1[ii-1], find_next(nums1, ii-1, nums2, jj-1))
        if nums1[ii-1] < nums2[jj-1]: # 前一個值小，說明在最終第k個數，肯定在ii之後
            return fun_rec(nums1, ii, nums2, j, k+i-ii) # 始終保持 fun_rec 函式的第2、4、5的引數的和等於 i+j+k
        return fun_rec(nums1, i, nums2, jj, k+j-jj)

    def find_next(nums1, i, nums2, j):
        '''
        nums1已經掃描到了i，nums2已經掃描到了j。
        返回 nums1[i] 的下一個大的元素。
        '''
        if i == len(nums1) - 1:
            return nums2[j+1]
        return min(nums1[i+1], nums2[j+1])

    # 判斷應該尋找第幾個數
    if len(nums1)== 0 and len(nums2) == 1:
        return nums2[0]
    if len(nums2)== 0 and len(nums1) == 1:
        return nums1[0]    
    total = len(nums1) + len(nums2)
    result = fun_rec(nums1, 0, nums2, 0, int((total+1)/2))
    if total % 2 == 1: # 奇數，需要尋找最中間的那個數
        return result[0]
    else: # 偶數，需要求中間兩個數的均值
        return (result[0]+result[1])/2

if '__main__' == __name__:
    nums1 = [1, 3]
    nums2 = [2]
    print(findMedianSortedArrays2(nums1, nums2))

    nums1 = [1, 2]
    nums2 = [3, 4]
    print(findMedianSortedArrays2(nums1, nums2))