1.由先序序列和中序序列構造二叉樹

• 定理：任何n（n≥0）個不同節點的二叉樹，都可由它的中序序列和先序序列唯一地確定。
• 證明（數學歸納法）
  基礎：當n=0時，二叉樹為空，結論正確。
  假設：設節點數小於n的任何二叉樹，都可以由其先序序列和中序序列唯一地確定。
  歸納：已知某棵二叉樹具有n（n＞0）個不同節點，其先序序列是a0a1…an−1；中序序列是b0b1…bk−1bkbk+1…bn−1。
  
  • 先序遍歷“根-左-右”，a0必定是二叉樹的根節點
  • a0必然在中序序列中出現，設在中序序列中必有某個bk（0≤k≤n−1）就是根節點a0。
    
  • 由於bk是根節點，中序遍歷“左-根-右”，故中序序列中b0b1…bk−1必是根節點b
    k(a0)左子樹的中序序列，即bk的左子樹有k個節點，bk+1…bn−1必是根節點bk（a0）右子樹的中序序列，即bk的右子樹有n−k−1個節點。
  • 對應先序序列，緊跟在根節點a0之後的k個節點a1…ak是左子樹的先序序列，ak+1…an−1這n−k−1就是右子樹的先序序列。
    
  • 根據歸納假設，子先序序列a1…ak和子中序序列b0b1…bk−1可以唯一地確定根節點a0的左子樹，而先序序列ak+1…an−1和子中序序列bk+1…bn−1可以唯一地確定根節點a0的右子樹。
  • 綜上所述，這棵二叉樹的根節點己經確定，而且其左、右子樹都唯一地確定了，所以整個二叉樹也就唯一地確定了。

• 例
  

  根據定理的證明，寫出下面的演算法。

  品味：以上構造性證明是突出體現電腦科學的案例。計算機學科的精髓就在於製造，即使在“理論性”味道的定理中，其證明過程，給出的就是“存在的這麼一個東西”的構造方法。

［參考解答］（btreee.h見演算法庫）

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "btree.h"

BTNode *CreateBT1(char *pre,char *in,int n)
/*pre存放先序序列,in存放中序序列,n為二叉樹結點個數,
本演算法執行後返回構造的二叉鏈的根結點指標*/
{
    BTNode *s;
    char
 
 *p;
    int k;
    if (n<=0) return NULL;
    s=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));     //建立二叉樹結點*s
    s->data=*pre;
    for (p=in; p<in+n; p++)                 //在中序序列中找等於*ppos的位置k
        if (*p==*pre)                       //pre指向根結點
            break;                          //在in中找到後退出迴圈
    k=p-in;                                 //確定根結點在in中的位置
    s->lchild=CreateBT1(pre+1,in,k);        //遞迴構造左子樹
    s->rchild=CreateBT1(pre+k+1,p+1,n-k-1); //遞迴構造右子樹
    return s;
}

int main()
{
    ElemType pre[]="ABDGCEF",in[]="DGBAECF";
    BTNode *b1;
    b1=CreateBT1(pre,in,7);
    printf("b1:");
    DispBTNode(b1);
    printf("\n");
    return 0;
}

2.由後序序列和中序序列構造二叉樹

• 定理：任何n（n＞0）個不同節點的二叉樹，都可由它的中序序列和後序序列唯一地確定。
• 證明：(略)
  

［參考解答］（btreee.h見演算法庫）

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "btree.h"

BTNode *CreateBT2(char *post,char *in,int n)
/*post存放後序序列,in存放中序序列,n為二叉樹結點個數,
本演算法執行後返回構造的二叉鏈的根結點指標*/
{
    BTNode *s;
    char r,*p;
    int k;
    if (n<=0) return NULL;
    r=*(post+n-1);                          //根結點值
    s=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));     //建立二叉樹結點*s
    s->data=r;
    for (p=in; p<in+n; p++)                 //在in中查詢根結點
        if (*p==r)
            break;
    k=p-in;                                 //k為根結點在in中的下標
    s->lchild=CreateBT2(post,in,k);         //遞迴構造左子樹
    s->rchild=CreateBT2(post+k,p+1,n-k-1);  //遞迴構造右子樹
    return s;
}

int main()
{
    ElemType in[]="DGBAECF",post[]="GDBEFCA";
    BTNode *b2;
    b2=CreateBT2(post,in,7);
    printf("b2:");
    DispBTNode(b2);
    printf("\n");
    return 0;
}

3.由順序儲存結構轉為二叉鏈儲存結構

［參考解答］（btreee.h見演算法庫）

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#include "btree.h"
#define N 30
typedef ElemType SqBTree[N];
BTNode *trans(SqBTree a,int i)
{
    BTNode *b;
    if (i>N)
        return(NULL);
    if (a[i]=='#')
        return(NULL);           //當節點不存在時返回NULL
    b=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); //建立根節點
    b->data=a[i];
    b->lchild=trans(a,2*i);                 //遞迴建立左子樹
    b->rchild=trans(a,2*i+1);               //遞迴建立右子樹
    return(b);                              //返回根節點
}
int main()
{
    BTNode *b;
    ElemType s[]="0ABCD#EF#G####################";
    b=trans(s,1);
    printf("b:");
    DispBTNode(b);
    printf("\n");
    return 0;
}