自從開始進行演算法學習之後,談到字串匹配就總是KMP演算法,今天在網上查閱相關資料時,偶然發現了Boyer-Moore演算法,思考過後發現了其中的精妙之處,於是就寫下這篇文章來談談自己對幾種演算法的理解。

1.最簡單通俗的模式匹配
首先我們給定一個例子:給定模式串T:abcac,主串S:ababcabcacbab,我們需要判斷T是不是S的字串。
這裡寫圖片描述
分別用計數指標i,j指示主串S和模式串T中當前正待比較的位置,該匹配過程的基本思想是:從主串的POS位置的字元起和模式串的第一個字元開始比較,如果相同,就繼續逐個比較後續字元;如果不相同就從主串的下一個位置和模式串的第一個位置的字元重新開始比較,一直到查詢完畢為止。
下面給出其演算法(複雜度為O(N+M))

int search(char S[],char T[])
{
int l1,l2,i=0,j=0;
    l1=strlen(S);
    l2=strlen(T);
    while(i<l1&&j<l2){
        if(S[i]==T[j]){
            i++,j++;
        }
        else{
            i=i-j+1;j=0;
        }
        if(j>=l2)
            return ok;
        else
            return false;
    }
    }

簡單匹配的思想很容易理解,最壞的時間複雜度為O(n*m),當遇到如主串為aaaaaaaaaaaaaaab,模式串為aaab 此種類型時具有最壞的查詢效率。

2.KMP演算法

為了實現對演算法的修改,我們需要知道當匹配過程中產生失配的時候,主串中第i個字元與模式串中哪個字元再比較可使得結果比較的次數最少。
KMP演算法相對於樸素的匹配演算法改進在於引入了next陣列概念,使得當出現兩個字元不匹配時,根據已經匹配部分的性質,使模式串向右移動指定位置,再重新進行匹配。

得到next陣列的程式為

void get_next(){
    int i=0,j=-1;
    next[0]=-1;
    while(i<len){
        if(j==-1||str[i]==str[j]){
            i++;j++;
            next[i]=j;
        }
        else{
            j=next[j];
        }
    }
}

1.  這裡寫圖片描述

  假定字串為”HERE IS A SIMPLE EXAMPLE”,搜尋詞為”EXAMPLE”。

  2.
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  首先,”字串”與”搜尋詞”頭部對齊,從尾部開始比較。

  這是一個很聰明的想法,因為如果尾部字元不匹配,那麼只要一次比較,就可以知道前7個字元肯定不是要找的結果。

  我們看到,”S”與”E”不匹配。這時,”S”就被稱為”壞字元”(bad character),即不匹配的字元。我們還發現,”S”不包含在搜尋詞”EXAMPLE”之中,這意味著可以把搜尋詞直接移到”S”的後一位。

  3.
這裡寫圖片描述
  依然從尾部開始比較,發現”P”與”E”不匹配,所以”P”是”壞字元”。但是,”P”包含在搜尋詞”EXAMPLE”之中。所以,將搜尋詞後移兩位,兩個”P”對齊。

  4.
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  我們由此總結出”壞字元規則”:

後移位數 = 壞字元的位置 - 搜尋詞中的上一次出現位置

  如果”壞字元”不包含在搜尋詞之中,則上一次出現位置為 -1。

  以”P”為例,它作為”壞字元”,出現在搜尋詞的第6位(從0開始編號),在搜尋詞中的上一次出現位置為4,所以後移 6 - 4 = 2位。再以前面第二步的”S”為例,它出現在第6位,上一次出現位置是 -1(即未出現),則整個搜尋詞後移 6 - (-1) = 7位。

  5.
這裡寫圖片描述
  依然從尾部開始比較,”E”與”E”匹配。

  6.
這裡寫圖片描述
  比較前面一位,”LE”與”LE”匹配。

  7.
這裡寫圖片描述
  比較前面一位,”PLE”與”PLE”匹配。

  8.
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  比較前面一位,”MPLE”與”MPLE”匹配。我們把這種情況稱為”好字尾”(good suffix),即所有尾部匹配的字串。注意,”MPLE”、”PLE”、”LE”、”E”都是好字尾。

  9.
這裡寫圖片描述
  比較前一位,發現”I”與”A”不匹配。所以,”I”是”壞字元”。

  10.
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  根據”壞字元規則”,此時搜尋詞應該後移 2 - (-1)= 3 位。問題是,此時有沒有更好的移法?

  11.
這裡寫圖片描述
  我們知道,此時存在”好字尾”。所以,可以採用”好字尾規則”:

後移位數 = 好字尾的位置 - 搜尋詞中的上一次出現位置

  計算時,位置的取值以”好字尾”的最後一個字元為準。如果”好字尾”在搜尋詞中沒有重複出現,則它的上一次出現位置為 -1。

  所有的”好字尾”(MPLE、PLE、LE、E)之中,只有”E”在”EXAMPLE”之中出現兩次,所以後移 6 - 0 = 6位。

  12.
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  可以看到,”壞字元規則”只能移3位,”好字尾規則”可以移6位。所以,Boyer-Moore演算法的基本思想是,每次後移這兩個規則之中的較大值。

  更巧妙的是,這兩個規則的移動位數,只與搜尋詞有關,與原字串無關。因此,可以預先計算生成《壞字元規則表》和《好字尾規則表》。使用時,只要查表比較一下就可以了。

  13.
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  繼續從尾部開始比較,”P”與”E”不匹配,因此”P”是”壞字元”。根據”壞字元規則”,後移 6 - 4 = 2位。

  14.
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  從尾部開始逐位比較,發現全部匹配,於是搜尋結束。如果還要繼續查詢(即找出全部匹配),則根據”好字尾規則”,後移 6 - 0 = 6位,即頭部的”E”移到尾部的”E”的位置。